§6. Анализ рекурсивных программ. Рекуррентные отношения.

Рекурсивной процедурой называется процедура, прямо или косвенно обращающаяся к себе.

Глубиной рекурсии называется количество рекурсивных обращений, требуемых для вычисления рекурсивной функции.

Пример 1

- рекурсивная функция. Требует последовательных обращений к самой себе, то есть вычисления , , …, 2!, 1!. Глубина рекурсии при вычислении равна . Алгоритм и анализ его сложности - см. практические занятия.

Анализ рекурсивных программ сложен и, как правило, требует решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим наиболее простые случаи.

Пример 2. Рассмотрим процедуру-функцию сортировки слиянием mergesort(L):

Вход: список L длины n.

Выход: список L отсортированный по убыванию.

Функция mergesort использует процедуру merge(L₁,L₂), которая просматривает два отсортированных по убыванию списка L₁ и L₂. Сравнивая наибольшие элементы из L₁ и L₂ она выбирает наибольший из 2-х, удаляет его из L₁ (или L₂) и помещает в выходные данные. Затем снова сравнивает наибольшие элементы из оставшихся в L₁ и L₂ и т. д. Выход процедуры merge(L₁,L₂) – один отсортированный по убыванию список, содержащий все элементы L₁ и L₂.

Известно, что на списках L₁ и L₂ длиной процедура merge выполняется за время равное .

function mergesort(L : list, n : integer) : list

{L – список типа list длиной n, n – степень числа 2}

var L₁, L₂ : list;

begin

(1) if n =1 then return(L)

else

begin

(2) {разбиение L на две части L₁ и L₂, каждая длиной n/2}

(3) return(merge(mergesort(L₁, n/2), mergesort(L₂, n/2));

end;

end.

Пусть - время выполнения megesort(L, n).

При в строке (1) действие return(L) имеет временную сложность , где .

При

строка (3) : mergesort(L₁, n/2) – временная сложность

mergesort(L₂, n/2) – временная сложность

merge(mergesort(L₁, n/2), mergesort(L₂, n/2)) – временная сложность

строка (2) : время на разбиение L на две части – считаем

Итого в (2)-(3): , для некоторого .

Таким образом, для всей программы

(1)

Замечание 1.

Процедуру merge и оператор (2) можно модифицировать для работы не только в случае для некоторого .

В других случаях , когда , практически для всех алгоритмов можно предполагать, что

Определение 1. Рекуррентным соотношением (рекуррентной формулой) называется соотношение вида

(2)

позволяющее вычислять n-й член последовательности , если известны предыдущие k членов.

Множество всех последовательностей вида , удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением рекуррентного соотношения.

Методы решения рекуррентных соотношений – см. курс дискретной математики.

Рассмотрим один из способов решения – метод подстановок. В правую часть (2) последовательно подставляются выражения для , , чтобы исключить из правой части (2) все выражения для , оставляя только 𝑇 . Такая формула называется замкнутой формулой для .

Недостатком метода является то, что приходится находить возникающие при преобразованиях суммы различных последовательностей, что бывает трудоемко сделать точно. В таком случае обычно находятся верхние границы этих сумм.

Пример 3.

Оценим решение рекуррентного соотношения (1) из примера 2.

(1)

Будем рассматривать 2 строку оценки (1). Подставим в нее вместо : .

Подставим полученную оценку для во вторую строку (1):

, то есть

(2)

Подставим вместо во вторую строку (1)

Подставим полученную оценку для в (2)

(3)

Из (1), (2), (3) с помощью метода математической индукции можно получить общую формулу

(4)

Предположим, что . При из (4) следует

.

Так как (см. пример 2 при n=1), то

Таким образом, функция mergesort имеет эффективность .