Типовой расчёт № 2
Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
Образец выполнения типового расчёта № 2.
Задание
1. Вычислить
приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Решение:
Воспользуемся
формулой:
.
Для данной функции получим:
.
Ответ:
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
Решение:
.
. 2.2.
.
Решение:
Используем правило
дифференцирования сложной функции:
.
.
Заметим, что этот
результат можно было получить, представив
функцию в виде
.
2.3.
.
Решение:
Воспользуемся
правилом дифференцирования произведения
двух функций:
.
Получим
.
2.4.
.
Решение:
Снова используем
формулу производной сложной функции:
.
Получим:
.
Задание
3. Продифференцировать
неявно заданную функцию
.
Решение:
Продифференцируем
обе части данного уравнения по переменной
,
учитывая при этом, что
является функцией аргумента
.
Получим:
.
Из полученного равенства выразим
производной
:
,
откуда
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Решение:
Используем правило
дифференцирования функции, заданной
параметрически:
.
Получим:
.
Задание
5. Вычислить
с помощью дифференциала приближённое
значение выражения
.
Решение:
Используем
приближённое равенство:
,
верное при малых значениях
.
Откуда:
.
Преобразуем сначала
исходное выражение:
.
Положим
,
,
.
Производная равна:
,
.
Окончательно имеем:
.
Задание
6. Найти
вторую производную функции
.
Решение:
Сначала находим
первую производную:
.
Вычисляем вторую
производную:
.
Задание
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
Решение:
Запишем уравнение
касательной:
.
В нашем случае
,
.
Подставляем в уравнение:
,
откуда
- уравнение касательной.
Запишем уравнение
нормали:
.
Подставив в это уравнение числовые
данные:
,
откуда
- уравнение нормали.
Задание
8. Найти
производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Решение:
Запишем общую
формулу логарифмической производной:
.
В нашем случае:
Задание
9. Исследовать
функцию и построить ее график:
Решение.
Функция определена
и непрерывна в интервале (0;+).
В граничной точке
области определения функция имеет
бесконечный разрыв, так как
.
Так как в точке
функция имеет бесконечный разрыв, то
прямая
является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение наклонной асимптоты
(если
она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак,
и уравнение асимптоты
.
Таким образом, график имеет в качестве
асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
.
Стационарная критическая точка:
.
Исследуем знак производной на
интервалах(0;е) и (е;).
х
0
е
+
-
Составим таблицу:
x
(0;e)
e
(e;+)
y`
+
0
-
y
возрастает
max
убывает
Экстремум функции:
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при
.
Определим знак
второй производной в интервалах
+
-
и
:
-
х
0
+
x
(0;
)
4,48
(
;)
y``
-
0
+
график
выпуклый
точка перегиба
вогнутый
Составим таблицу:
y(
)=3/(
)
0,33
Г
рафик
пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек
пересечения с осью ординат нет. Строим
эскиз графика функции:
y
х
1
е
е
Задание
10. Найти
наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение:
Найдём область
определения функции:
.
Далее, продифференцируем функцию:
.
Найдём критические точки:
.
Одна из них,
,
принадлежит рассматриваемому промежутку.
Определим значение функции в границах
отрезка и в этой точке:
.
Таким образом,
.