Тема: Регресійні моделі Теоретична і розрахункова моделі

Теоретична лінійна модель Y = a₀ + a_1·x + u ,

розрахункова модель Y_р= â₀+â_1·x+ u^{^},

де â₀ , â_1, u – відповідні оцінки, наближені значення параметрів теоретичної моделі

â₀  a_0, â_1· a_1, u^{^}  u

В цьому рівнянні коефіцієнт a₁ – це частинний коефіцієнт регресії, який характеризує чутливість величини у до зміни фактора х – вплив змінної x на зміну умовного математичного сподівання : як зміниться величина фактора Y за умов збільшення фактора Х на одну одиницю.

у Y_т

Y_р

Y_і(т) u

Y_і u^

Ŷ_{і (р)}

x_і х

Бажано, щоб u_i^{^} є N (0, ²) - мали б нормальний закон розподілу.

Метод найменших квадратiв

Метод найменших квадратів – метод розрахунку параметрів моделі Y_р= â₀ + â_1·x + u_i^{^} .

Ідея методу базується на тому, що величина u_і має буде мінімальною:

= ∑(y_i - ỳ) або ∑(y_i - ỳ)² або ∑│y_i - ỳ│ min.

Краще всього в ролі функції оцінки відхилень взяти суму квадратів відхилень кожної точки від свого розрахункового значення

Q (â₀ , â₁) = = ∑(y_i - ỳ_i)² = ∑( y_i – (â₀ + â_1·x_і+ u^{^}_i))².

Ця функція має min значення в тих точках, де частинні похідні по змінних â_0, â₁l дорівнюватимуть нулю:

=0, ( y_i – (â₀ + â_1·x_і))(-1) = 0, ∑ y_і – ∑â₀ – ∑ â_1·x_і = 0,

=0 (( y_i – (â₀+ â_1·x_і))(- x_i)=0 ∑ y_і·х_і – â₀ ∑ х_і – â₁ ∑ _·x_і² =0,

З аписується остаточна система рівнянь: n â₀ + â₁ ∑ _·x_і = ∑ y_і ,

â₀ ∑ х_і + â₁ ∑ _·x_і² =∑ y_і·х_і ,

n – кількість спостережень.

Розв’язання системи рівнянь проводиться за допомогою оберненої матриці або за правилом Крамера. Основний визначник системи , тому існує єдиний розв'язок системи: . З цього випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середні значення показника Y та фактора X.

ả_{1 = = = .}

Ця рівність означає, що коефіцієнт ả₁ моделі ПЛР дорівнює відношенню кореляційного моменту до дисперсії фактора Х і дорівнює тангенсу кута між лінією регресії і віссю ОХ.

ả_{0 = = .}

Середнє значення прогнозу показника Y _р при значенні фактора Х_р визначається за формулою = ả₀ + ả₁