4 семестp / Методы / Квантовая статистика / Kvantovaya_statistika
.pdf
11
vmax |
= |
2EF (0) |
||||
|
|
|
, |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
m0 |
||
то |
|
|
3 |
|
|
|
< |
v>= |
|
vmax . |
|||
4 |
||||||
|
|
|
|
|||
Подставляя численные значения EF(0) и m, получаем
<v>=1,1 106 м/с.
Способ 2. Воспользуемся функцией распределения электронов по скоростям F(v). Тогда
|
|
< |
v>= |
|
∞∫ v F ( v)dv |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞∫ F ( v) dv |
|
|
|
|||
где F(v), согласно (15), при T=0 имеет вид |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( v) |
|
0 |
v2 , |
v < |
vmax |
|
||||
|
π 2"3 |
. |
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0, |
|
v > vmax |
|
||||
Интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vmax |
|
|
|
|
1 v4 |
|
|
||
|
|
∫ |
v v2dv |
|
3 |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
4 |
max |
|
|||
< |
v>= |
vmax |
= |
1 |
= |
|
4 |
vmax . |
|||
|
|
∫ v2dv |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
3 vmax |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Найдите относительное число ∆NN свободных электронов в металле, энергия которых
отличается от энергии Ферми не более чем на η=1,0 %, если температура металла T=0. Решение. Число электронов dN(E), энергия которых лежит в интервале от E до E+dE, равно
dN(E)=V dn(E),
где V – объем металла. Принимая во внимание выражение для F(E) (14), находим, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dN |
= V |
|
|
|
|
0 |
|
|
E 2 dE . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2"3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Относительное число таких электронов определяется выражением |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dN ( |
E) |
|
|
|
|
dN ( E) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
E 2 dE . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
V n |
|
|
|
π 2"3n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поскольку при T=0 энергия электронов E≤ EF, то искомая величина получается интегрировани- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ем данного выражения по энергии в пределах от EF(1-η) до EF |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dN ( E) |
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
|
|
|
|
|
3 |
||||
|
∆ N |
|
|
|
|
|
|
2m02 |
|
|
|
|
|
2 |
2m02 |
|
|
|
) |
23 |
||||||||||||||||||||||
|
= |
∫ |
= |
∫ |
|
|
|
|
E 2 dE= |
|
|
1 |
− η1 |
E 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
N |
N |
|
|
|
|
2 |
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
2 |
3 |
n |
|
|
( |
|
F . |
||||||||||||||||
|
|
|
EF (1−η) π |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставляя сюда значение EF, определяемое соотношением (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
EF = |
" |
|
|
(2π 2n) 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1η |
) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12
Поскольку в задаче имеется малый параметр (η=0,01<<1), то ответ можно существенно упростить. Используя разложение в ряд Тейлора
|
|
|
3 |
|
3 |
|
(1− η) 2 |
≈ 1− η |
, |
||||
получаем |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∆ N |
= |
3η = |
0,015 . |
||
|
N |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Задача 9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) электронного газа в меди при температуре T=0 K.
Решение. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа, характеризует относительное изменение объема газа при изменении давления и определяется выражением
|
1 dV |
d |
ln V |
|
|
|
( |
) |
|
||
α = − |
|
d=p− |
|
|
, |
V |
|
dp |
|||
где V – объем газа, p – давление. Поскольку число частиц газа N остается постоянным, то при сжатии газа его концентрация будет возрастать, причем
n = |
N |
, ln V= |
ln N− ln n, |
где ln N= const . |
|||
V |
|||||||
В соответствии с этим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d (ln V) |
d (ln n) |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
α = − |
|
dp = |
|
. |
|
|
|
|
dp |
||||
Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется средней энергией поступательного движения частиц этого газа <E>
p = |
2 |
n< |
E> . |
|
3 |
||||
|
|
|
Для вырожденного электронного газа при T=0 K (см. задачу 5)
< |
E>= |
3 |
EF (0) , |
|
|
||||
|
5 |
|
|
||||||
или, с учетом (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
) |
2 |
. |
|
|
5 2m |
|
|||||||
< E>= |
3 |
" |
|
|
π 3 |
2n |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому зависимость давления электронного газа p от его концентрации n при T=0 имеет вид
p = |
2 3 "2 |
( |
3π |
2 |
) |
2 |
|
1 "2 |
( |
|
2 |
) |
2 |
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 n3 |
. |
|||||||||||
3 |
5 |
2m |
|
|
|
|
|
5 |
m |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 3= |
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n = |
5 |
m |
(3π |
2 ) |
2 |
5 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
" |
20 |
3 |
|
|
p5= |
Ap5 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
где A=const. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n = |
ln A+ |
|
|
ln p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжимаемости, получаем
|
d |
( |
|
) |
3 |
d |
( |
|
|
) |
3 1 |
|
||
|
|
ln n |
|
|
|
ln p |
|
|
|
|||||
α = |
|
|
dp |
|
= |
5 |
|
|
dp |
= |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
p |
||||||||
Воспользовавшись найденной выше зависимостью p от n, приходим к выражению
|
3 |
|
1 " |
2 |
( |
2 |
) |
2 |
|
5 |
|
− 1 |
3m0 |
( |
|
2 |
) |
− |
2 |
− |
5 |
|
||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
α = |
5 |
5 m0 |
π3 |
|
|
|
n |
|
|
= |
" |
π |
|
3 |
|
|
|
|
n . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13
Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энергию Ферми EF(0). С учетом (3) получаем
α = |
36π |
2 |
"3 |
|
( EF (0)) − 2 . |
||
|
|
3 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8m0 ) |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
||||
Взяв значение энергии Ферми для меди EF(0)=7,1 эВ=1,14 10-18 Дж, получаем численное значение для коэффициента сжимаемости электронного газа в меди
|
36 |
(3,14) 2 (1,0510− 35)3 |
(1,14 |
|
− 18 |
) |
− |
5 |
|
− 11 |
− |
1 |
|
− 6 |
− |
1 |
|
|||
α = |
10 |
= |
1,33 |
1,35 |
. |
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
10 |
Па= |
|
10 |
атм |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8 9,1 10− 31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что давление электронного газа является одним из основных факторов, определяющих сжимаемость металлов.
5.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Концентрация свободных электронов в металлическом натрии n=2,5 1023 см-3. Воспользовавшись уравнением для давления идеального газа, найдите давление электронного газа в натрии при T=0.
|
"2 |
|
2 |
5 |
Ответ: p = |
|
(3π |
|
n) 3= 5 ГПа . |
15π 2m |
|
|||
|
0 |
|
|
|
2. Часто при расчетах пренебрегают различием значений EF(T) и EF(0). Оцените, на сколько процентов отличается EF(T) от EF(0) для вольфрама при температуре, близкой к его температуре плавления (T=3643 K). Считайте, что на каждый атом вольфрама приходится два свободных электрона.
Ответ: EF (T) −( E)F ( 0) = 0,1 % .
EF 0
3. Найдите отношение концентрации свободных электронов в литии и цезии nLi /nCs , при T=0,
если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны EFLi = 4,72 эВ и EFCs = |
1,53 эВ. |
|||||||
|
nLi |
|
ELi |
3 |
|
|||
|
2 |
|
||||||
Ответ: |
|
|
= |
|
F |
|
|
5,5 . |
n |
Cs |
Cs |
|
|||||
|
|
|
|
EF |
|
|
||
4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0, больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны
EFAl = 11,7 эВ , EFCs = 7 эВ ?
|
βAl |
M |
|
ρ |
|
|
EAl |
|
3 |
|
||
|
|
Cu |
2 |
|
||||||||
Ответ: |
|
|
= |
|
Al |
|
|
F |
|
|
3 . |
|
β |
Cu |
|
|
|
Cu |
|
||||||
|
|
|
M Al |
ρAl |
EF |
|
|
|
||||
5. Какая часть свободных электронов в металле при T=0 имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
Ответ: ∆NN 0,65 . 6. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов с кинети-
ческой энергией от |
EF |
до EF больше числа электронов с энергией от 0 до |
EF |
. |
|
|
2 |
2 |
|
( |
) |
||
|
|
|
Ответ: В |
|||
|
|
|
|
8 − 1 раз. |
||
14
7. Зная распределение F(E) электронов по энергиям, найдите суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см3 золота, полагая, что на каждый атом золота приходится один свободный электрон.
|
"2 |
|
|
|
2 ρAu NA |
|
5 |
||
|
|
|
3 |
||||||
Ответ: E = |
|
|
|
|
3π |
|
Au |
|
= 31,3 кДж . |
10π |
2 |
|
M |
||||||
|
|
m0 |
|
|
|
|
|||
8. Зная распределение F(E) электронов в металле по энергиям, найдите распределение F(p) электронов по импульсам.
Ответ: F ( p) = |
1 |
|
|
p2 F |
|
|
|
|
|
. |
|
π 2"3 |
|
|
p2 /2m |
0 |
− |
E |
F |
|
|
||
|
|
|
exp |
|
|
|
|
+ 1 |
|||
|
|
kT |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Металлический брусок объемом V находится при температуре T=0. Найдите число ∆ N свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса pmax не более, чем на ηpmax, где 0≤η≤ 1. Энергия Ферми данного металла равна EF.
|
|
|
1− |
(1− η |
3) |
|
2m E |
|
3 |
|
||||
|
|
|
F |
2 |
|
|||||||||
|
|
Ответ: ∆ N= |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
V . |
||
|
|
|
3π |
2 |
|
|
" |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов со ско- |
||||||||||||||
ростями от |
vmax |
до vmax больше числа электронов со скоростями от 0 до |
vmax |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В 7 раз.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Иродов И. Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 1998. 448 с.
2.Иродов И. Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.
3.Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачи по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с.
4.Мартинсон Л. К. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Разделы «Элементы квантовой механики», «Физика твердого тела». М.: МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1983.
64с.
5.Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики». М.: Издво МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 32 с.
6.Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Измерение физических величин в квантовых системах». М.: Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2002. 20 с.