Тема 2. Диференціальне числення функцій багатьох

ЗМІННИХ.( 10 ГОД.)

План.

1.Знаходження похідних вищих порядків функцій багатьох змінних.

2.Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених обчислень.

3.Знаходження екстремумів функцій багатьох змінних.

4.Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області .

5.Розв’язування завдань на знаходження умовного екстремуму функцій.

Література. В.В.Барковський, Н.В.Барковська.Математика для економістів. Ч.1. ст.238-257.

Знаходження частинних похідних вищих порядків функцій багатьох змінних.

Частинними похідними другого порядку функції z=f(x;у) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Позначення частинних похідних другого порядку :

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього та вищих порядків.

Наприклад: .

Приклад. Z=ylnx. Знайти , , .

Розв’язування . Знайдемо частинні похідні першого порядку ,

; .

Диференціюємо повторно : .

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

Знайти частинні похідні другого порядку функцій двох змінних

1. z=xy+sin(x+y) 2.z=

3.z= 4.z=x sinxy+y cosxy

5.z=sin(x+cosy) 6.z=

7.z= cos(x+y) 8.z=

9.z= 10.z=

11.z= 12.z=

13.z= 14.z=

15.z= 16.z=

17.z= 18. z=ylnx

19.z= 20.z=x cos(xy)+y sin(xy)

21.z=ln(x+y ) 22.z=xy sin

23.z=siny lnx +e lny 24.z=ln(x+y)

25.z=e 26.z=x ln(x+y)

27.z=ln(x +y ) 28.z=

29.z=2x 30.z=x sin(xy ).

Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених

обчислень.

Означення. Головна частина повного приросту функції двох змінних , яка лінійно

залежить від та , називається повним диференціалом функції

z=f(x;y) і позначається dz або df(x;y).

Отже , повний диференціал функції двох змінних можна знайти за допомогою формули

dz= .

За допомогою диференціала можна знаходити наближене значення приросту функції

, а також знаходити наближене значення функції в заданій точці

.

Приклад. Знайти наближене значення функції z=x +2xy+y в точці М(1,03;1,97).

Розв'язування. z(1+0,03; 2-0,03) z( 1; 2) +

z( 1;2)= 1 +2 =1+4+8=13

=

Z(1,03 ; 1,97) 13+0,18-0,42= 12,76.

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

Знайти наближене значення функцій в даній точці

1. z= х+3ху +у М(1,02; 1,98)

2. z=x+x М(1,04; 1,96)

3. z=x М(1,06; 2,02)

4.z=x+2x y+y М(1,02;1,04)

5.z=x +y +2x М(1,04; 1,98)

6.Z=2xy+y М(2,02; 1,97)

7.z= x +xy+y М(3,02 ;2,98)

8.z=x +xy +y М(0,98; 1,04)

9.z=4x +xy +y М(0,96;0,98)

10.z=3x +xy+y М(1,94; 1,96)

11.z=x +xy +2xy М(2,96; 1,02)

12.z=x +3xy+y М(1,02;0,96)

13.z= x +4xy+y М(2,02; 1,96)

14.z=x+3y +xy М(1,04; 2,98)

15.z=x +2xy+y М(1,02 ; 1,94)

16. z=x +xy +y М(1,98 ;2,02)

17. z=x +xy +2xy М(1,04 ;2,04)

18. z= 2x+3y +xy М(2,08 ; 1,94)

19. z=x +2x y+y М(2,01 ; 3,02)

20. z= x+2x y+y М(1,94 ; 2,96)

21.z=x+2x y +y М(1,04 ; 1,92)

22. z= 3x +xy+y М(1,03 ; 2,01)

23. z= 2x+x y+y М(2,02 ;2,96)

24. z= x +4x y+y М(2,04 ; 1,06)

25. z= 3x +2xy +y М(1,98 ;1,96)

26. z=x +xy+y М(1,94 ; 2,04)

27. z= 2x +y +xy М(2,03 ; 1,98)

28. z=x +y x+y М(1,01 ; 2,02)

29. z= x +x y +y М(1,02 ; 2,98)

30. z= 2x +xy +y М(1,01 ; 1,92)

Знаходження екстремумів функцій багатьох змінних.

Теорема. ( Необхідна умова існування екстремуму).

Якщо функція z=f(x ,x ,…,x ) має екстремум в точці М (х , х ,…,х ), то

кожна частинна похідна першого порядку функції дорівнює нулю або не існує

в цій точці.

Наслідок. Точки, в яких частинні похідні першого порядку не існують або дорівнюють

нулю, називають критичними точками.

Приклад. Знайти критичні точки функції z= х -ху+у +3х-2у+1.

Розв'язування. Спочатку знайдемо частинні похідні першого порядку заданої функції

двох змінних :

=2x-y+3 =-x+2y-2

Ці похідні існують для усіх х та у , тому критичними будуть лише точ-

ки, де частинні похідні дорівнюють нулю ,тобто

Розв'язавши систему , одержимо : х=- ; y=

Отже , критичною точкою буде М (- ).

Знаходження екстремуму функцій двох змінних .

Теорема. ( Достатні умови існування екстремуму).

Нехай в околі критичної точки М( х ; y ) функція Z=f(x;y) має неперервні

частинні похідні до другого порядку включно,

а ; а ; а .

Тоді :

1. f(x;y) має максимум , якщо а а а >0 та а <0

2. f(x;y) має мінімум , якщо а а а > 0 та а >0

3. f(x;y) не має екстремуму , якщо а а а < 0

4. якщо а а а =0 , тоді екстремум в точці М може існувати , а може і не

існувати , тобто в цьому випадку треба використати іншу достатню ознаку .

Приклад. Дослідити на екстремум функцію z= х -ху+у +3х-2у+1.

Розв’язування . У попередньому прикладі для цієї функції знайдена критична

точка М (- .

Застосуємо достатню умову . Маємо :

; ; .

Тому а а а =2 > 0.

Згідно з другим твердженням теореми в точці М задана функція має

мінімум : Z

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

Дослідити функцію двох змінних на екстремум :

1. Z =x y -8x-2 2. Z=x +xy+2y -x+4

3. Z= -x -4y +5x-8y+3 4. Z= x +xy +6xy

5. Z= 3x -y +4y+5 6. Z=-x -xy-y +3x+6y

7. Z=2xy-2x-6y+5 8. Z=x +8y +6xy-1

9. Z=x +xy+y -6x-9y 10. Z=2xy-2x-4y

11. Z=x +xy +6xy 12.Z=x +8y -6xy+5

13.Z=2x -3y -8x-12y+1 14.Z=x +xy+y -3x-6y

15.Z=3x-x -xy-y +6 16.Z=x-y(3-x-y)

17.Z=y -y -x+3y 18.Z=x +3xy -15x-12y

19.Z=(y-x) +(y+2) 20.Z=x +xy+y +x-y+1

21.Z=x +y -xy+x+y-4 22.Z= xy(1-x-y)

23. Z= x -3xy+y 24.Z=3x -x +3y +4y

25.Z=x +3xy -15x-12y 26.Z=x +y -2x +4xy-2y

27.Z=x -xy+y +3x-2y+1 28.Z=x +y -3ax.

Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області .

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції у замкнутій області ,які позначаються , , відповідно , треба знайти екстремальні значення

функції в точках , що лежать в середині D та на межі області , і обрати найбільше та

найменше значення.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції Z=x y(4-x-y) в трикутнику,

обмеженому лініями х=0 , у=0 , х+у=6.

Розв'язування. Спочатку знайдемо критичні точки всередині області :

2xy(4-x-y)-x y=xy(8-3x-2y)

=x (4-x-y)-x y=x (4-x-2y).

Згідно з необхідними умовами існування екстремуму функцій двох змінних маємо систему рівнянь

Всередені області х 0 та у 0 , тому

В критичній точці маємо

Тепер проведемо дослідження функціЇ на межі трикутника . На прямій х+у=6 змінна

у=6-х і функція Z приймає вигляд

, є[0,6] .

Знайдемо найбільше та найменше значення цієї функції однієї змінноЇ х на замкнутому відрізку [0,6] :

Із рівності =0 знаходимо : 6х(х-4)=0 , звідси випливає , що , .

Отже, Z(4)=-64 ; при х=0 та х=6 Z(0)=0 ; Z(6)=0.

На прямій у=0 маємо Z=0.

Отже , задана функція Z має найбільше значення в точці всередині області ,

найменше значення - в точці на межі області .

Найбільше значення ;

найменше значення .

САМОСТІЙНОЇ ЗАВДАННЯ РОБОТИ

Знайти найбІльше та найменше значення функціЇ в областІ D :

а) Z=1+х+12у ; D={x } ;

б) Z= ; D={ х }.

Знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа .

Екстремум функціЇ Z=f(х;у) при виконанні умови (х;у)=0 називають умовним

екстремумом функціЇ .

Умовні екстремуми часто використовуються при дослідженні опти, мізації багатьох

економічних та соціальних проблем.

Для знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа необхідно :

1.Записати функцію Лагранжа вигляду

L(x,y, )=f(x;y) + (x,y)

2.знайти критичні точки М (х ,у , ) функції Лагранжа , використовуючи необхідні

умови існування екстремуму :

3.перевірити в кожній критичній точці достатні умови існування екстремуму:

а) якщо в точці М (х ,у ) визначник третього порядку

Додатний, тоді точка M_k є точкою максимуму і

Б) якщо визначник , тоді точка M_k є точкою мінімуму і

Приклад 9. Знайти екстремум функції при умові, що

Розв'язування. Будемо шукати умовний екстремум з використанням функції Лагранджа

Необхідні умови існування тепер мають вигляд

Виключаючи з цієї системи λ, одержимо:

→ →

Отже критичними точками будуть:

Для перевірки достатніх умов існування екстремуму запишемо визначник в довільній точці M(x,y), враховуючи

Тепер можна знайти значення цього визначника в кожній критичній точці і використати достатні умови:

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайти умовні екстремуми функцій:

1. при

2. при