2.2.3. Частота отказов (плотность распределения)
Частота отказов – это отношение числа отказавших элементов в интервале D t к первоначальному числу элементов в единицу времени.
f
(t)
f
(t)
Dt
t1 t2 t
Ù
f(t) = n(t,t + Dt)/N0*Dt
Необходимо установить связь между f(t), q(t) и p(t).
Ù
f(t) = n(t,t + Dt)/N0*Dt; q(t) = n(t)/ N0
Ù
f(t) = (N0* q(t+Dt) – q(t)* N0 ) / N0*Dt; Dt ® 0
f(t) = dq(t)/dt = q’(t) Þ f(t) = d[1 – p(t)]/dt = - p’(t)
f(t) = q’(t) = - p’(t)
f
(t)
I II III
0 t1 t2 t3 t4 t
Для всех технических средств кривая f(t) имеет характерный вид, имеющий три области:
I – область приработки;
II – область нормальной эксплуатации f(t) = const;
III – область старения.
µ t*
f(t) dt = 1; q(0, t) = f(t) dt
0 0
t1
q(t1, t2) = f(t) dt
t2
p(t1) = 1 – q(t1)
t1 µ
q(0, t2) = f(t) dt = 1 - f(t) dt
0 t1
2.2.4. Интенсивность отказов объектов.
Интенсивность отказов (c(t)) - это условная плотность распределения вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказы не возникали.
l (t) = f(t) / (1 – F(t))
l (t) = n(t,t + Dt)/N(t)*Dt [1/час]
l (t) = (N(t+Dt) – n(t) / N(t)*Dt;
n (t) = N0*q(t)
l (t) = (N0* q(t+Dt) – q(t)* N0 ) / N0*Dt; Dt ® 0
Разделив числитель и знаменатель на N0 получаем
l (t) = (q(t+Dt) – q(t)) / Dt; N(t)/ N0 = p(t)
l (t) = dq(t) / p(t) dt = q’(t)/p(t) = f(t) / (1 – F(t))
2.2.5. Закон надежности для невосстанавливаемых систем.
p(t)
1
k
t
Необходимость определить зависимость между вероятностью безотказной работы P(t) и интенсивностью отказов.
t
- l(t) dt
p(t) = e 0
l(t) = f(t)/ (1 – F(t)) = -p’(t)/p(t) = - dp(t)/p(t)dt
l(t) dt = - dp(t)/p(t)dt
П роинициируем:
l(t) dt = - dp(t)/p(t)dt + С
П ри t = 0 мы имеем С = 0
l(t) dt = - ln p(t)
l(t) dt
По определению логарифма имеем: p(t) = e
Закон надежности.
- l(t) dt – называется ведущей функцмей и записывается
Lt = f l(t) dt
Lt вычисляется для каждого закона распределения СВ. При экспоненциальном законе вида p(t) = e-lt l оказывается постоянной.
На самом деле:
l(t) = f(t) / (1 – F(t)) = -p’(t)/p(t) = - (1 - e-lt) / e -lt = l*e -lt / e -lt = l
Функция средняя наработка до отказа.
Средняя наработка до отказа [36] – это математической ожидание (МО) этой наработки.
n
M[x] = S xi * R(x) (В данном случае не подходит)
i=1
µ
t0 = M[t] = ta* ta(t) dt (по теории вероятностей)
0
Необходимо найти t0 в зависимости от закона надежности p(t)
µ
t0 = ta* p’(t) dt (1), где
0
ta - наработка на отказ
ta(t) – функция плотности наработки на отказ
Интегрируя (1) по частям, получаем
+ µ µ
t0 = - [t * P(t)] + p(t) dt
0 0
µ
t0 = [-µ, 0] + p(t) dt
0
- µ ®0 (p(t) быстрее ®0)
Н
еопределенность
в скобках можно считать равной нулю,
так как при незначительном увеличении
времени t,
значение p(t)
практически равно нулю Þ
µ
t0 = p(t) dt
0
Определим среднюю наработку на отказ при экспоненциальном законе распределения
p(t) = e -l(t), то t0 = ?
µ
Подставим t0 = p(t) dt и обозначим e-l = a Þ
0
µ
at dt = at / ln a, так как
0
p(t) = e-l(t) = e-l(t) / ln e-l
µ
p(t) = e-l(t) = e-l(t) / ln e-l =0/l +1/l = 1/l
0