Модели Колмогорова.

Если процесс перехода системы из одного состояния в другое можно представить как результат воздействия простейших потоков отказов l(t) и восстановления (t) без последствия, то этот процесс может быть исследован на марковской модели надёжности с непрерывным временем.

l(t)=const

(t)=const

Процесс описывается в виде размеченного графа связности системы, который имеет вид:

Error: Reference source not found

P₁(t)- вероятность го состояния системы

l - поток отказов

 - поток восстановления

В этом случае задача решается составлением линейных дифференциальных уравнений Колмогорова.

Рассмотрим простейшую систему с двумя состояниями:

Error: Reference source not found

P₁(t) – вероятность работоспособного состояния

P₂(t) – вероятность неработоспособного состояния

Определим состояние системы через ∆t:

P₁(∆t) = e^-l∆t ≈1-l∆t

P₂(∆t) = e^-m∆t ≈1-m∆t

P₁(t+∆t) = P₁(∆t)*(1-l∆t) + P₂(t)* m∆t

P₂(t+∆t) = P₂(t)*(1-m∆t) + P₁(t)* l∆t

Система в конечных приращениях получилась на основании теоремы о полной вероятности.

P₁’(t) = -l P₁(t) + m P₂(t)

P₂’(t) = -m P₂(t) + -l P₁(t)

C «-» то, что уходит из вершины

С «+» то, что приходит в вершину

Правила составления уравнений Колмогорова.

Левая часть уравнений представляет собой производную Pi(t), выражающее изменение во времени вероятности нахождения системы в i-ом состоянии.

P1’(t) = - λ12P1(t)

P2’(t) = - λ23P2(t)+µ32P3(t)+ λ12P(t)

P3’(t) = - µ32P3(t) + λ23P2(t)

Правые части уравнений есть суммы :

а) произведений интенсивности перехода системы из i-го состояния в другое, на вероятность i-го состояния, взятого со знаком “ – “ /минус/

б) произведение интенсивности перехода системы в i-ое состояние из другого состояния, на вероятность того состояния, из которого осуществляется переход, взятое со знаком “ + ” /плюс/

Модель невосстанавливаемой системы из n последовательно включенных равнонадёжных элементов.

Error: Reference source not found

λ – интенсивность отказа элемента системы

Дифференциал уранения:

P₁’(t) = - nλP₁(t)

P₂’(t) = nλP₁(t), где nλ = λ_s – интенсивность отказа системы

P₁(t) = e^-nλt

Для неравнонадежных элементов:

n

λ_s = Σ λ_i

i=1

T_s = 1/λ_s – среднее время наработки системы.

Модель восстанавливаемой системы из n-последовательно включенных элементов.

Error: Reference source not found

µ_s – интенсивность восстановления системы

P₁’(t) = - nλP₁(t) + µ_sP₂(t)

P₂’(t) = - µ_sP₂(t) + nλP₁(t)

P₁(t) = (µ/nλ+µ_s) + (nλ/nλ+µ_s)*e^-(nλ+µ_s^)t

Kг_s = nλ/(nλ+µ_s); т. к. nλ<<µ_s можно записать, что

Кг_s @ nλ/µ_s = nλ/(1/tb_s) = nλtb_s

Kг_s = nλtb_s

Kг_s = 1 - Кг_s

Для неравнонадежных элеменотов

n

Кг_s = ( Σλ_i )tb

i=1

Модель восстанавливаемой системы двух параллельно включенных элементов.

Error: Reference source not found

2 элемента

2 состояния

x_i – работоспособное состояние

x`_i – неработоспособное состояние

Error: Reference source not found

Поскольку поток простейший, то переход P₁(t) - P₄(t) не возможен.

P₁`(t) = - λ₁P₁(t) – λ₂P₁(t) + µ₁P₂(t) + µ₂P₃(t)

P₂`(t) = - µ₁P₂(t) – λ₂P₂(t) + µ₂P₄(t) + λ₁P₁(t) (*)

P₃`(t) = - λ₁P₃(t) - µ₂P₃(t) + µ₁P₄(t) + λ₂P₁(t)

P₄`(t) = λ₁P₂(t) + λ₂P₃(t) – (µ₁ + µ₂)P₄(t)

Решение системы уравнений (*) для предельных состояний P_i(t) дает возможность определить финальные вероятности P_i(t)

Кг₁ Кг₂

lim P₁(t) = (µ₁/(µ₁+λ₁))*(µ₂/(λ₂+µ₂)) = Кг₁ * Кг₂ = Р^*₁

t→∞

lim P₂(t) = Кг₁*Кг₂ = (λ₁/(µ₁+λ₁))*(µ₂/(λ₂+µ₂) = Р^*₂

t→∞

lim P₃(t) = Кг₁*Кг₂ = Р^*₃

t→∞

lim P₄(t) = Кг₁*Кг₂ = Р^*₄

t→∞

Р^*_i – финальные вероятности для состояний этой системы (они не зависят

4

от t), т. к. Σ Р^*_i = 1 можно утверждать, что Кг_s = P^*₄ = Кг₁*Кг₂

i=1

Кг_s = 1 – Кг_s