20. Односторонние пределы.

Определение 1. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство .то число называется левосторонним пределом функции в точке или также пределом функции в точке слева.

Определение 2. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство . то число называется правосторонним пределом функции в точке , или также пределом функции в точке справа.

Теорема 1. Пусть , и – точка сгущения каждого из множеств и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы и , то существует и равный им двусторонний предел = = .

21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.

22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .

Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность) при этом . Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то . Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.

Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Если для любого вещественного числа E N: x_n > E n > N (соотв., x_n < E n > N ), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .

Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ  употребляется без знака).

Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.

Замечание 2. Последовательности имеющие своим пределом + или - мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.

Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы + или -, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный + или -. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой ( ), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного () предела.

23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.

Пусть функции и определены на множестве и – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности точки функция отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .

Определение 1. Если ,то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут при . 2. Если функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут при . Говорят, что функции и асимптотически равны при , если .Если бесконечно малые(большие) при функции и асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при , при этом пишут ~ ( ).Если бесконечно большие при функции и асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .

Теорема: Пусть и – бесконечно малые(большие) при функции, причем ~ , а ~ при . Тогда если ,то и .