11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .

Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность) при этом .

Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то .

Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.

Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Если для любого вещественного числа E N: x_n > E n > N (соотв., x_n < E n > N ), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .

Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ  употребляется без знака).

Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.

Замечание 2. Последовательности, имеющие своим пределом + или - мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.

Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы + или -, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный + или -. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой ( ), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного () предела.

12. Лемма о вложенных отрезках.

Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков , ( ), их пересечение не пусто.

Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.

Доказательство. Из определения о вложенных отрезках.

, что для любого  , следовательно, существует  

, что для любого  , и существует  

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно, пределы последовательностей в этой точке   и   равны. Из этого следует, 

Как нам известно  , а  , то 

Что и требовалось доказать.

13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.

Пусть – произвольная числовая последовательность, – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность , , , называется подпоследовательностью последовательности и обычно обозначается или, короче, .

Теорема 1. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел, что и исходная последовательность.

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.

     Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

     В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

     Замечание 2. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [a, b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности   также находится на сегменте [a, b].

     Действительно, так как  , то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [a, b].

     Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3, ..., n, 1/(n+1), ... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2, ..., n, ... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.