Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
Лемма
1. Если
,
и
,
то существует такой номер
,
что
.
Д о к а з а т е л ь с т в о разбирается на лекции.
Теорема
2 (о предельном
переходе в неравенстве). Если
каждая из последовательностей
и
сходится и
,
то
.
В
самом деле, элементы последовательности
{yn - xn}
неотрицательны, а поэтому неотрицателен
и ее предел 
.
Отсюда следует, что
Замечание.
Из того,
что
,
и
,
в общем случае, следует только, что
,
а не то, что
.
Для этого достаточно рассмотреть,
например, следующие последовательности
и
:
Теорема
3 (принцип
двух милиционеров).
Если
,
а последовательности
и
сходятся и
имеют один и тот же предел, то сходится
и последовательность
,при
этом
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
и
.
(8)
Требуется доказать, что
(9).
Для этого выберем произвольное
и покажем, что
такое,
что
(10)
Поскольку имеют место равенства (8), то
найдется такой номер
,
что
и
,
а так как
,
то отсюда следует, что
.
Следовательно
,
что равносильно (10), а это в силу
произвольности
(9) □
Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение 1. Последовательность называется
а)
возрастающей,
если
;
б)
неубывающей,
если
;
в) убывающей, если ;
г)
невозрастающей,
если
;
д) монотонной, если она относится к одному из указанных выше типов а) – г);
е) строго монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.
Теорема 1. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Поскольку
всякая сходящаяся, и даже необязательно
монотонная, последовательность
ограничена, то из этой теоремы вытекает
такое Следствие.
Для того,
чтобы монотонная последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была ограниченной.
Всякая неубывающая последовательность
,
ограничена снизу (числом
).
Следовательно, для ее ограниченности
достаточно, чтобы она была ограниченной
сверху. Поэтому справедливы следующие
уточнения теорема и ее следствия.
Теорема
2. Всякая
неубывающая,
ограниченная сверху числовая
последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы неубывающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.Аналогично, для невозрастающих последовательностей справедливы следующие утверждения:
Теорема
3. Всякая
невозрастающая,
ограниченная снизу числовая
последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы невозрастающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
П
р и м е р 1.
,
если q
> 1. Действительно, здесь
=
,
.
Поэтому
=
,
(1) а
так как
=
=
=
< 1, то найдется номер N,
такой, что при
> N
будем иметь
и следовательно, при тех же
<
.
Следовательно, если отбросить первые
N
членов рассматриваемой последовательности,
то оставшиеся ее члены будут составлять
монотонно убывающую последовательность,
которая к тому же ограничена снизу (все
ее члены положительные) и в силу этого
сходится (теорема 3). Поскольку отбрасывание
конечного числа членов последовательности
не влияет на ее сходимость, то это
означает, что сходится и исходная
последовательность.
Найдем
теперь ее предел. Пусть
.
Тогда с учетом равенства (1) будем иметь
=
=
∙
=
.
Поэтому
= 0 и, следовательно,
= 0 □
С
л е д с т в и е 1.
= 1. Д
о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированном
по доказанному в 1-м примере
(здесь
).
Поэтому найдется
такое, что
при
будем иметь
и, следовательно,
при
.
А тогда
при
и тем более
при
.
В силу произвольности это и означает, что = 1 □
С
л е д с т в и е 2.
= 1
при любом а > 0.
П
р и м е р 2.
= 0 (здесь
- любое действительное число,
,
)