5. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

Число (точка) называется пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство .

(Обозначение: , или (а также при ))

Краткое, символическое определение: 

Геометрическая форма определения предела последовательности:

Интервал = называется -окрестностью точки .

_{Так как}   

_То 

Наконец, определение предела числовой последовательности может быть сформулировано следующим образом: Число (точка) называется пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некоторого номера, принадлежат любой наперед заданной окрестности точки .

Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.

(Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная. )

Единственность предела.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Числовая последовательность называется

А) ограниченной, если :

Б) ограниченной сверху, если :

В) ограниченной снизу, если

Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

(Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.)

Пример 1. Рассмотрим последовательность такую, что , . Эта последовательность представляет собой чередующиеся числа :

.

Очевидно, она ограничена

_{Но если} , то каково бы ни было числа одновременно не могут принадлежать -окрестности , так как расстояние между точками и равно

и при меньше двух, а расстояние между двумя соседними точками рассматриваемой последовательности равно двум и следовательно они одновременно не могут принадлежать такой -окрестности любой точки .

Пример (стационарные последовательности). Последовательность называется стационарной , если все ее члены за исключением быть может конечного их числа равны одному и тому же вещественному числу , т.е. если такое, что .

_{Очевидно, всякая стационарная последовательность сходится и ее предел равен тому числу} , которому равны все ее члены за исключением конечного их числа.

Очевидно, для любого вещественного числа существует единственное целое число такое, что

.

Оно называется целой частью числа и обычно обозначается .

6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и называются, соответственно, следующие последовательности: , , и , при этом, говоря о последней из них, предполагается, что для любого .

Теорема 1. ⊐ последовательности и сходятся.

Тогда сходятся и последовательности (c- const), , и – последняя при условии и , – при этом

а) ,

б) (теорема о пределе суммы и разности)

в) (теорема о пределе произведения)

г) (теорема о пределе частного)