Условия экстремума функции.
Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.
Теорема
1. Если
функция
определена в некоторой окрестности
точки
и имеет в ней
локальный экстремум, то либо функция
не дифференцируема в точке
,
либо
(1)
Определение 1. Если дифференцируемая в точке функция удовлетворяет условию (1), то эта точка называется стационарной точкой функции .
Следующая очевидная теорема доставляет достаточное условие локального экстремума функции, а также достаточные условия отсутствия этого экстремума.
Теорема
2 (достаточное
условие локального экстремума в терминах
первой производной).
Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
непрерывна в самой точке
и дифференцируема в проколотой
окрестности
этой точки. Тогда если при “переходе”
через точку
“слева
на право” производная
меняет знак с плюса на минус, то в точке
функция
имеет локальный максимум. Если же при
таком переходе через точку
производная
меняет знак с минуса на плюс, то в точке
она имеет локальный минимум. Наконец,
если при переходе через точку
производная не меняет своего знака, то
в этой точке нет локального экстремума.
Теорема
3 (достаточное
условие локального экстремума в терминах
высших производных).
Пусть функция
раз дифференцируема в точке
(
).
Тогда если
(2) и
,
то при
нечетном в
точке
нет локального экстремума, а при
четном есть, при этом в последнем случае
(т.е.
при
,
)
если
,
то в этой точке она имеет локальный
максимум, а если
,
то она имеет в ней локальный минимум.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия
(2) локальная формула Тейлора функции
в
точке
имеет вид
,
а поскольку
,
где
при
,
то ее можно переписать в виде
.
(3)
Теперь
заметим, что если разность
,
стоящая здесь слева не меняет знака при
переходе через точку
, то в этой точке функция
имеет локальный экстремум, а если при
таком переходе эта разность меняет
знак, то в точке
нет локального экстремума. Далее
сделаем следующее важное\
Замечание
А. Так как
при
и
,
то в достаточно малой окрестности
точки
знак выражения, стоящего в квадратных
скобках в формуле (3), будет неизменным
и будет совпадать со знаком производной
.
Поэтому в указанной окрестности правая,
а значит и левая часть формулы (3), будет
менять свой знак тогда и только тогда,
когда меняет свой знак многочлен
,
а он очевидно при переходе через точку
меняет свой знак, когда
-
нечетное и не меняет его, когда
-
четное.
Таким образом, резюмируя сказанное заключаем, что
1) если - четное, то разность не меняет свой знак в окрестности и, следовательно, функция имеет в этой точке локальный экстремум;
2) если же - нечетное, то разность меняет свой знак в окрестности и, следовательно, функция не имеет в этой точке локального экстремума .
Тип локального экстремума в точке при - четном определяется знаком разности : если он положительный, т.е. если (см.(3) и замечание А), то в точке функция имеет локальный минимум, а если он отрицательный, т. е. если , то в ней она имеет локальный максимум □