Правило Лопиталя.
При
вычислении пределов вида
в случаях, когда функции
и
одновременно являются б.м. или б.б. при
невозможно (напрямую) воспользоваться
теоремой о пределе частного. В первом
из этих случаев говорят, что имеет место
неопределенность типа
,
а во втором, – неопределенность
.
Достаточно универсальный рецепт
раскрытия этих неопределенностей,
содержится в приводимых ниже двух
теоремах и носит название правила
Лопиталя.
Теорема
1. Пусть
функции
и
дифференцируемы на конечном или
бесконечном интервале
,
на
и
(1). Тогда если существует конечный или
бесконечный предел
(2), то существует и равный ему предел
,
т.е.
(3)
Замечание
1. Аналогичное утверждение справедливо,
если в условиях этой теоремы заменить
всюду
на
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Возможны
два случая: 1)
-
конечно и 2)
.
Рассмотрим сначала случай, когда,
например,
–
конечное.
Доопределим
функции
и
в
точке
,
положив
.
Тогда, с учетом условия (1), каково бы ни
было
,
в силу дифференцируемости этих функций
на интервале
они будут непрерывными на отрезке
.
Следовательно, на всяком таком отрезке
функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши о
среднем значении. Поэтому на любом таком
отрезке
существует такая точка
,
что
(4)
. Заметим, что здесь по условию теоремы
.
Кроме того,
(поскольку
,
то это равносильно тому, что
).
Действительно,
в противном случае, по теореме Ролля,
нашлась бы такая точка
,
что
.
Но это противоречит условию теоремы, в
частности тому, что
на
.
Из
сделанных выше замечаний следует, что
равенство (4) можно переписать в виде
.
Но,
так как
, то это равносильно равенству
.
Учитывая
теперь (2) и то, что
при
,
в силу последнего равенства и теоремы
о пределе суперпозиции, имеем
.
Рассмотрим
второй случай, когда,
.
Тогда не уменьшая общности можно считать,
что
(почему?).
Учитывая это положим
и заметим, что функции
и
удовлетворяют всем условиям теоремы
в первом рассмотренном нами случае, где
однако новое
при
старом
,
а новое
. В частности, поскольку существует
предел (2) и
(здесь
),
то существует и предел
(5). Поэтому,
по доказанному в 1-м случае
(6).
А так как
(7),
то из (5)–(7)
следует (3) при
□
Теорема
2. Пусть
функции
и
дифференцируемы на конечном или
бесконечном интервале
,
на
и
.
Тогда если существует конечный или
бесконечный предел
,
то существует и равный ему предел
.
Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и при замене условия на условие .
Условия монотонности функции.
Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:
⇒
⇒
(1)
⇒
⇒
,
(2)
⇒
⇒
,
(3)
⇒
⇒
.
(4)
⇒
⇒
,
(5)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего
заметим, что (5) следует из (2) и (3).
Следовательно нужно доказать лишь
(1)-(4). Левые импликации в (1)-(5) доказываются
на основе формулы конечных приращений
Лагранжа. Выберем произвольные точки
.
По теореме Лагранжа найдется такая
точка
,
что
.
Отсюда, в частности, следует, что если
,
то
.
В силу произвольности выбранных точек
,
это означает, что функция
возрастает на
.
Таким образом, доказана левая из
импликаций (1). Аналогично доказываются
левые импликации в (2)-(4). Правые импликации
в (1)-(4) доказываются на основе определения
производной. Пусть, например, функция
возрастает на
.
Тогда для любого
и любого
такого, что
имеем
.
Переходя здесь к правостороннему пределу
в точке
,
по теореме о предельном переходе в
неравенстве получим
.
Так как выше точка
была выбрана произвольно, то это означает,
что имеет место правая из импликаций
(1). Аналогично доказываются правые
импликации в (2)-(4) □
Замечание
1. Импликации
(2), (3) и (5) для дифференцируемой на
интервале
функции
имеют смысл необходимых и достаточных
условий и могут быть записаны в виде:
⇔
(2’);
⇔
(3’);
⇔
(5’). Вместе
с тем отметим, что левые из импликаций
(1) и (4) не обратимы, что иллюстрирует
приводимый ниже пример.
Пример
1. Функция
,
очевидно, является возрастающей на всей
вещественной оси, т.е. на интервале
,
но
.
Таким образом, условие
является достаточным, но не необходимым
условием того, чтобы функция была
возрастающей на интервале
.
Аналогично, если рассмотреть функцию
,
то легко убедиться, в том, что условие
является достаточным, но не необходимым
условием того, чтобы функция была
убывающей на интервале
.