Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
Отображение называется
а)
сюръективным
или
отображением “на”,
если
;
b)
инъективным
или взаимно
однозначным отображением «в»,
если
из того, что
следует, что
(или,
равносильно, если
из того, что
следует, что
);
в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Пусть
отображение
устанавливает взаимно однозначное
соответствие между множествами
и
,
т.е. является биективным. Тогда можно
определить новое отображение
,
полагая, что
его образом
при отображении
является тот единственный элемент
,
образом которого при отображении
является
соответствующий элемент
:
.
Так
определенное отображение g
называется обратным
к отображению
и обозначается
,
т.е.
.
Отображение
такое, что
,
,
называется тождественным
отображением
множества
в себя.
Непосредственно из определения обратного отображения следует, что
а) обратное отображение биективно;
б)
имеют место равенства
,
т.е.
и
,
т.е.
;
в)
обратным к отображению
является отображение
,
т.е.
и, следовательно, отображения
и
являются
взаимно обратными.
Если отображение является числовой функцией и имеет обратное отображение , то это обратное отображение называется обратной функцией (к функции ).
Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
Для
любых непустых подмножеств
и
числовой прямой
,
обладающих тем свойством, что
,
существует, по крайней мере, одно такое
число
,
которое разделяет эти множества, т.е.
.
(Образно говоря, аксиома непрерывности гласит, что множество вещественных чисел не имеет дыр.)
Наименьшая из
верхних граней множества
называется точной
верхней гранью
этого множества, а наибольшая из его
нижних граней называется точной
нижней гранью
этого множества.
(Точная
верхняя грань множества
обозначается символом
,
а точная нижняя грань множества
обозначается
).
Второе определение точной верхней грани:
Число
называется точной
верхней гранью
множества
,
если
1)
и
2)
.
(Условие 1) здесь означает, что С- верхняя грань множества , а условие 2), в свою очередь, означает, что никакое число, меньшее чем С, верхней гранью множества уже не является и, следовательно, число C является наименьшей из верхних граней множества )
Второе определение точной нижней грани:
Число называется точной нижней гранью множества если
1)
(⇒
с –
нижняя грань
)
и
2)
(⇒,
с учетом j),
c
– наименьшая нижняя грань
).
(Не
всякое числовое множество имеет
наибольший, как и наименьший элемент.
Так, например, любой интервал
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
элементов, а обе его точные грани
существуют , при этом
,
а
;
любой полуинтервал
не имеет наибольшего элемента, но имеет
наименьший элемент, а любой полуинтервал
имеет наибольший элемент, но не имеет
наименьшего.)