43. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.

Теорема 2. Пусть функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями на отрезке с концами в точках и , а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует такая точка , лежащая между точками и , что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде . (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке с концами в точках и рассмотрим функцию переменной : , где .

Из условий теоремы следует, что на отрезке функция обладает теми же свойствами, что и функция . Точнее, на отрезке функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.

По этой теореме между точками и найдется такая точка , что (2)

Поскольку , (3) то нетрудно видеть, что . (4)

К тому же, как следует из (3), (5) и (6) Из формул (2), (4) – (6) имеем : . В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы ( - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1) □

Следствие. Если на отрезке с концами в точках и функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора (7) может быть записан, как в форме Коши: , (8) так и в форме Лагранжа: (9) (здесь лежит между точками и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить . В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить . Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции можно записать как в виде (10) (формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа), так и в виде (11) (формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□

44. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

Если , то формула Тейлора функции имеет особенно простой вид: (1)

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

,

,

и

.

Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

. Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси).

Как известно . Поэтому формула Маклорена функции имеет вид ( ): , где остаточный член можно записать в любой из форм:

( в форме Пеано)

( в форме Лагранжа) и (в форме Коши), где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками и .

. Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и , то ; и, следовательно, . При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид: , соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом: (2), а остаточный член в форме Коши имеет вид: (3)

Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член в форме Лагранжа в общем случае имеет вид: , а затем убедиться в том, что для функции имеют место равенства .

. Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь , то . Поэтому имеем, , при этом остаточный член имеет вид: (в форме Пеано); ( в форме Лагранжа); ( в форме Коши).