37. Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.

n^о 1. Таблица производных

Элементарные функции (за исключением функций и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n^о 2. Показательная и логарифмическая функции.

Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что (1) и (2)

Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим: = . Таким образом установлена формула .

Далее, так как функция является обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем: = . Следовательно, установлена и формула .

Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции где и – дифференцируемые на некотором промежутке функции, причем на .

Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

Таким образом, .

В частности, если здесь , а , то , т.е. установлена и формула .

Формула вытекает из формулы 2⁰ в силу формулы дифференцирования обратной функции: (здесь , ).

n^о 3. Производная степенной функции.

Предварительно представив степенную функцию ( ) в виде ее производную вычислим с помощью формулы дифференцирования сложной функции: Формула , таким образом, также доказана.

n^о 4. Тригонометрические функции.

Используя формулу , а также известный замечательный предел , по определению производной с учетом непрерывности функции будем иметь

Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим

Производные от функции и вычисляются с использованием установленных выше формул и и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.

n^о 5. Обратные тригонометрические функции.

Формулы выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих .

Например, функция является обратной к функции , ( ). Поэтому .(Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку при ). Аналогично вычисляется производная от функции .

Далее, функция является обратной к функции . Поэтому . Аналогично вычисляется производная от функции .

38. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Говорят, что в точке функция имеет локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что ( ), (1) при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.

Замечание 1. Если внутренняя точка множества , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо « » можно писать « », считая без ущерба для общности, что .

Замечание 2. Если в точке функция имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.

Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве , т.е. всякая точка , для которой ; ( ), иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на множестве .

Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.

Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве , - внутренняя точка множества и функция дифференцируема в этой точке .Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать , что ─ точка локального минимума . Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и .

Поэтому (3) . (4)

Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что (5), а из неравенства (4) , в силу того же, в свою очередь, следует , что (6). Из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □