30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что (1). Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке . Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □

Пусть функция определена на множестве . Далее полагаем и .

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е. существуют такие точки ,что , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что . Тогда, очевидно, функция будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что . Следовательно , а это противоречит тому, что □

Замечание 1. Теорема 2 по сути гласит, что во множестве значений непрерывной на отрезке функции имеется наибольший и наименьший элементы. Они, соответственно, называются наибольшим и наименьшим значениями функции, при этом точки и , в которых функция принимает эти значения, называются, соответственно точкой максимума и точкой минимума функции на отрезке . Теорему 2, таким образом, можно рассматривать как теорему о существовании точек максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и

Из второй теоремы Вейерштрасса с учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, вытекает такое Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .

31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.

Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.

Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .

Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке .

32. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

n°1. Понятие производной.

Пусть и . Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует такая окрестность точки , что .

Пусть теперь функция определена на множестве и - внутренняя точка множества . Тогда существует такая окрестность точки , что и, следовательно, функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее Определение 1. Если существует предел , то он называется производной функции в точке .

Производная функции ( ) в точке обозначается одним из последующих символов: , , , , при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения используют символы: , , , .Таким образом, (1)

Замечание 1. Если положить , , то теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную с помощью любого из равенств: (2), (3).

Величины и называют, соответственно, приращением аргумента и приращением функции в точке . В соответствии с равенством (3), можно сказать, что производная равна пределу отношения приращения функции (в точке ) к приращению аргумента.

Замечание 2. Определение производной выше было дано в предположении, что точка - внутренняя точка области определения функции . Если же точка не является внутренней точкой множества , но принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей односторонней окрестностью , или , то можно ввести понятие односторонней производной: (правая производная), (левая производная).

Замечание 3. В определении производной не требуется, чтобы предел (1) был конечным. Если предел (1) равен или , то производная называется бесконечной.

Теорема 1. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что □

n°2. Геометрический смысл производной. Производная функции в точке – тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в точке (подробнее на лекции и в учебниках).

n°3. Физический смысл производной Значение производной в точке численно равно мнгновенной скорости изменения функции

Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Определение. Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f(x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f(x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной. А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта: Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0). Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной. Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f(x₀) — значение самой функции.