27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Если функция непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка называется точкой разрыва функции .

Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества , принадлежащие этому множеству. Часто, однако, к точкам разрыва функции относят и точки, не принадлежащие области ее определения, но в которых существуют оба односторонних ее предела и , при этом допускается, что оба они или один из них являются бесконечными. Так обычно, точка считается точкой разрыва функции , хотя в смысле определения 1 она таковой не является, поскольку не принадлежит области определения этой функции.

Замечание 2. Если – точка разрыва функции , то либо предел не существует, либо он существует, но .

Определение 2. Пусть – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела и существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода

Определение 3. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.

Замечание 3. Если точка – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке:

.

Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.

Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.

Замечание 4. Иными словами точка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.

Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.

Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:

является разрывной в каждой точке . Действительно, для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к точке , имеем , а для любой последовательности иррациональных чисел , , в свою очередь, имеем . Следовательно, ни в одной точке не существует предел , т.е. каждая точка – точка разрыва функции Дирихле. Более того, нетрудно видеть, что ни в одной точке не существует ни один из односторонних придела и , так как описанные выше последовательности и , с одной стороны, можно выбрать так, что , а с другой стороны, можно выбрать и так, что . Таким образом, каждая точка – точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.

Пример 2. Функция «сигнум »

о чевидно, разрывна в точке , причем эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Пример 3. Функция разрывна в точке , которая, очевидно, является точкой устранимого разрыва.