Свойства дифференциала.

 

  Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1)      d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

 

2)      d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

 

3)      d(Cu) = Cdu

4)       

Геометрический смысл дифференциала.

 

 

  Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

7. Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке  . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  .

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:  При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

Лейбница формула, формула, выражающая производную n-го порядка (см. Дифференциальное исчисление) от произведения двух функций через производные сомножителей:   .

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

8. Теорема Ферма. Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.  

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.). Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0. Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.). Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что  

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.  

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.  

9. Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];  

2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  

3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  

то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство 

 

Правило Лопиталя. Пусть при x a для f(x) и g(x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки a, выполняются условия:

1. либо f(x) 0, g(x) 0, либо f(x) , g(x) ; 2. существует предел limx af (x)g (x).

Тогда limx af(x)g(x)=limx af (x)g (x).

Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределенностей типа: 00 или .

Неопределенности вида 0 · , – , 0 ⁰, ⁰, 1 часто удается свести к неопределенностям вида 00 или с помощью различных тождественных преобразований. После этого можно применять правило Лопиталя.

Рассмотрим некоторые из возможных преобразований указанных неопределенностей.

1. − : пусть f(x)  , g(x)   , тогда данная неопределённость приводится к типу 00 следующим преобразованием: f(x)−g(x)=1f(x) g(x)1g(x)−1f(x),

2. 0 : пусть f(x)  , g(x) 0 , тогда данная неопределенность приводится к типу: 00 или с помощью преобразований: f(x) g(x)=1g(x)f(x)=1f(x)g(x).

Остальные неопределенности приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования: logaf(x)g(x)=g(x) logaf(x) .

Если после применения правила Лопиталя неопределенность типа : 00 или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если x a .