Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1.

2. Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:

3. Касательная и нормаль к плоской кривой.

    Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁ ; y₁) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).    Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x₁ ; y₁) равен значению f '(x₁) производной y' = f '(x) при x = x₁/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде

y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁)

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

Производные:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Графики

Рис. 5. Графики гиперболических функций     и   . Рис. 3. Графики гиперболических функций     и   . График гиперболического косинуса называется цепной линией, которая является линией провисания тяжёлой нити, подвешенной в двух точках.

Гиперболический синус     и гиперболический косинус     определяются аналитическими выражениями

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси и тождественно удовлетворяют следующим соотношениям, которые легко проверяются непосредственным вычислением:

  Гиперболический тангенс     и гиперболический котангенс     определяются формулами

и представляют собой нечетные функции:

4 .

5. Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

Производная обратной функции

Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f ^-1, производная которой вычисляется по формуле

6. Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

dy = f(x)dx. 

Можно также записать:

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда

Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.