48. Достаточные условия существования экстремума в терминах первой и второй производной

Определение

называется критической точкой функции , если или не существует.

Теорема

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в существует экстремум:

• , если смена с на

• , если смена с на

Доказательство

- точка максимума

Теорема

Пусть - критическая точка для и существует непрерывная функция Тогда если 0 - точка , а если - точка .

Доказательство

Пусть , тогда в некоторой окрестности точки . Тогда возрастает в этой окрестности. .

Значит при прохождении через меняет знак с на - значит в - минимум.

[_]