34. Предел последовательности: определение, свойства. Число
Определение
Числовая последовательность – это
отображение
,
т.е.
.
Каждому натуральному числу (номеру)
ставится в соответствие действительное
число. Последовательность обозначается
или
Пример
:
Определение
Число
называется пределом
последовательности
(обозначается
),
если для любого
существует номер
,
такой что для
или
(или
).
Теорема
Предел
= этой
:
для последовательности
.
Доказательство
Для любого
.
Теорема (единственность предела последовательности)
Если существует предел последовательности
,
равный
,
и существует предел последовательности
.
Тогда
.
Доказательство
Существует
:
(
).
Для достаточно больших
и
- противоречие, так как это пересечение
пустое.
Арифметические свойства предела последовательности
Пусть
и
.
Тогда
1. Предел
2.
3.
,
если все
и
.
Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности
Пусть
(или
)
Тогда существует предел такой
последовательности и этот предел
(или
)
Пример
Рассмотрим последовательность
Отметим, что
,
значит по теореме выше
[_]
35. Предел функции: определение, свойства. Замечательные пределы
Определение
Число
называется пределом функции
при
(возможно, что
- области определения), если для любой
последовательности
значений аргумента, такой, что
,
и
,
соответствующая последовательность
значений функции
имеет предел
:
.
Сокращено
для любой
:
выполняется
Свойства предела функции
(аналогичны свойствам предела последовательности)
Пусть
и
.
Тогда
1. Предел
2.
3.
,
если
на всей области определения и
.
Предельный переход в неравенствах
Пусть в некоторой окрестности точки
для любого
.
Если существует
и существует
,
то
Замечательные пределы
1.
2.
[_]
36. Непрерывность функции в точке: определение, теорема о приращении
Определение
Функция
непрерывна в точке
,
если
(
)
Определение
Пусть
,
- близкая к
точка,
,
.
Тогда
- приращение (изменение). Так как
,
то
.
- приращение функции при переходе от
к
:
Теорема
Функция
непрерывна в точке
.
Доказательство
непрерывна в
.
[_]
37. Непрерывные функции, их свойства
Определение
Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке - ее области определения.
Теорема
Каждая элементарная функция непрерывна (в ее области определения).
Теорема
Если функции
и
непрерывны, то следующие функции также
непрерывны:
,
,
(при
)
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция
непрерывна в
,
а функция
непрерывна в
.
Сложная функция
непрерывна в
:
непрерывна в
.
[_]
38. Свойства непрерывных на замкнутом отрезке функций
Теорема
Непрерывная на замкнутом отрезке
функция
принимает на
свое наименьшее значение
и наибольшее значение
,
т.е.
такие, что
и
.
Теорема
Пусть функция
непрерывна на
и принимает на его концах значения
разных знаков:
.
Тогда
.
[_]