30. Электромагнетизм

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

Вывод

Закон Ампера гласит

Взяв дивергенцию от обеих частей выражения, получим , но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

По теореме Гаусса

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Интерпретация

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

Теория волн

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

где — вектор плотности потока энергии в точке с координатами в момент времени , — плотность энергии.

Вывод

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, то есть , а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,

По закону сохранения энергии , где Win — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энергия единицы объема, тогда полная энергия, заключенная в данном объеме, равна Тогда выражение для потока энергии примет видПрименяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

Гидродинамика.

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма ,

где — плотность жидкости (или газа), — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид , из чего следует соленоидальность поля скорости.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(x, t) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

где j — ток вероятности.

31. Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первое начало термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

Фундаментальный смысл закона сохранения энергии раскрывается теоремой Нётер. Согласно этой теореме каждый закон сохранения однозначно соответствует той или иной симметрии уравнений, описывающих физическую систему. В частности, закон сохранения энергии эквивалентен однородности времени, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от момента времени, в который система рассматривается.

Вывод этого утверждения может быть произведён, например, на основе лагранжева формализма^[1]. Если время однородно, то функция Лагранжа, описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтому полная её производная по времени имеет вид:

Здесь  — функция Лагранжа,  — обобщённые координаты и их первые и вторые производные по времени соответственно. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа, заменим производные на выражение : Перепишем последнее выражение в виде

Сумма, стоящая в скобках, по определению называется энергией системы и в силу равенства нулю полной производной от неё по времени она является интегралом движения (то есть сохраняется).

32. Уравнения Максвелла (или волновое уравнение) определяют фазовую скорость, в то время как у теории относительности есть "претензия" на максимальную скорость сигналов (групповую скорость). Фактически, мы всегда имеем дело с конкретным светом, поэтому этот факт должен быть отмечен некоторым индексом: вместо нужно писать параметрическую зависимость и волновое уравнение будет уравнением для Фурье-гармоники. Поскольку современные апологеты релятивизма отказываются от наглядности и принципиальной необходимости моделей среды распространения света, то неоднозначным становится путь обобщения уравнений Максвелла даже для "абсолютной пустоты" в случае немонохроматического света, не говоря уже о переходе к реальным нелинейным средам (включающим свойства "межмолекулярной пустоты", механизмы поглощения и переизлучения света молекулами и т.д.): без физических принципов, чисто из математических соображений таких обобщений можно ввести сколько угодно и все они будут равноправны. Требование инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований координат и времени весьма зыбкое, так как поля и уравнения для них можно ввести множеством способов, лишь бы измеряемые воздействия этих полей соответствовали реально наблюдаемым в экспериментах величинам. Так, например, в показано, что существуют нелокальные преобразования полей, сохраняющие уравнения Максвелла с неизменным временем. В показано, что можно ввести нелинейные и нелокальные преобразования, чтобы при определенных трансформациях полей уравнения поля были инвариантны относительно преобразований Галилея.

Продемонстрируем методическое противоречие общепринятых преобразований для полей. Пусть имеются два бесконечных незаряженных параллельных провода. Пусть в обоих проводах электроны движутся в одном направлении с постоянной скоростью относительно положительно заряженного остова, то есть имеем одинаковые плотности токов . Тогда для классического случая в выражении для поля величина

является инвариантом, то есть поле и воздействие этого поля не зависит от скорости движения системы. Для релятивистского же рассмотрения (так как ) имеем то есть поле зависит от скорости движения наблюдателя. Однако, следующие два случая очевидно равноправны:

(1) система со скоростью , то есть наблюдатель покоится относительно остова, а электроны движутся со скоростью , и

(2) система движется со скоростью , то есть наблюдатель покоится относительно электронов, а остов (положительные ионы) движется в противоположном направлении со скоростью (тот же самый ток). Релятивистская же формула дает для этих случаев разные значения (и воздействий полей), что абсурдно. Кроме того, совершенно противоречивым оказывается описание в СТО переходов от одной инерциальной системы к другой для трехмерной ситуации с ненейтральными токами (например, с пучками заряженных частиц).

Разберем теперь "принципиальный" вопрос об инвариантности уравнений Максвелла, широко разрекламированный в СТО. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца совершенно ничего не означает для других явлений. Во-первых, уравнения Максвелла - это уравнения для полей в пустом пространстве. В таком пространстве мы можем отрезать половину отрезка и увеличить ее вдвое - получим такой же отрезок. Поэтому в пустом математическом пространстве можно пользоваться любыми системами отсчета, непротиворечивыми геометриями и переводными коэффициентами. Это может определяться только лишь удобством математического описания. Однако, мы не можем просто разрезать живой организм и увеличить его вдвое под микроскопом - организм умрет. Наличие в пространстве реальных физических тел и полей задает естественные реперные точки, характерные масштабы и взаимосвязи между объектами. Все это определяет отличия реального физического пространства от пустого математического пространства. Во-вторых, свойство некоторых взаимодействий распространяться в вакууме со скоростью света не детерминирует скорость распространения взаимодействий в среде. Несмотря на огромную роль электромагнитных взаимодействий, возмущения в средах распространяются со скоростью звука. По одной константе , относящейся к вакууму, невозможно определить (для нашего "электромагнитного" мира) скорости звука и света в газах, жидкостях и твердых телах. Не ясно, как в изотропном пространстве могла бы возникнуть анизотропия реальных твердых тел. Все эти и многие другие свойства выходят за пределы применимости уравнений Максвелла в пустоте (СТО же предлагает клонирование свойств пустоты на все свойства материальных тел и сред). Следовательно, подгонять свойства всего мира под инвариантность уравнений Максвелла в пустоте - слишком завышенная претензия СТО. В-третьих, разбиение единого по своему действию поля на электрическую и магнитную части довольно условно и в значительной мере произвольно. Поэтому инвариантность этих искусственно выделенных частей не может иметь решающего значения. Наличие коэффициентов (зависящих от координат, времени, свойств света и др.) для уравнений Максвелла в среде делает эти уравнения неинвариантными относительно преобразований Лоренца