Лекция 6. Двумерные случайные величины

Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве , называютдвумерной случайной величинойилидвумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора.

Это определение можно обобщить и на совокупность nслучайных величин.

Функцией распределенияслучайного вектора (X,Y) илисовместной функцией распределенияслучайных величин X,Y называется

.

Свойства функции распределения.

1. (Это – свойство вероятности, а- вероятность).

2. - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если, то событиевключено в событие, следовательно, его вероятность меньше)

3. (события- невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4. (событиедостоверно).

5. =--+

Геометрически,- площадь

полосы левее и ниже точки ,

Вычитая из нее и,

мы два разавычтем площадь

полосы левее и ниже точки .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

поэтому надо добавить ее, т.е.

в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событиедостоверно, то пересечение событийиесть событие. Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, еслиX, Y- дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

X	Y
	y1	y2	…..	ym	PX
x1	p11	p12	…	p1m	pX1
x2	p21	p22	…	p2m	pX2
…….	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnm	pXn
PY	pY1	pY2	…	pYm

Здесь p_nm =,p_Ym = = p_1m+ p_2m +…+p_nm,

p_Xn = p_n1 + p_n2 + … +p_nm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на p_ijпри переходе через точку(x_i, y_j) в положительном направлении по осиOXи по осиOY. Если зафиксироватьx = x_i, то при увеличенииyэти скачки будут наp_i1, p_i2, … p_im (от нуля доp_Xi). Если зафиксироватьy = y_j, то при увеличенииxскачки будут наp_1j, p_2j, … p_nj (от нуля доp_Yj). Нижние ступени (приxx₁ и yy₁)находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (приx>x_n, y>y_m) находится на уровне 1. Если зафиксироватьx > x_nто при увеличенииyэти скачки будут наp_Y1, p_Y2, … p_Ym (от нуля до1). Если зафиксироватьy > y_m, то при увеличенииxскачки будут наp_X1, p_X2, … p_Xn (от нуля до1).

Пример.Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попаданияp, вероятность промахаq = 1-p. Случайная величинаX_i – число попаданий приi– том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора(X₁, X₂)=.

X	Y
	y1=0	y2=1	PX
x1=0	q2	qp	pX1=q
x2=1	pq	p2	pX2=p
PY	pY1=q	pY2=p

Построим функцию распределения

. В самом деле, при – событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие{X<x,Y<y} – достоверное.

При событие{X<x,Y<y} представляет собой событие{X=0,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}= q².

При событие{X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий{X=0,Y=0} и {X=0,Y=1}. Поэтому при F(x) =. P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q² + pq = q(p+q)=q.Аналогично, в случае F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q² + pq = q(p+q)=q

Двумерная случайная величина непрерывна, еслиX, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

.

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x,внутренний поyи наоборот). Если предполагать непрерывность плотности поxи y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

.