Свойства операций над событиями

1. =Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А В, то

3. А А = А 8 = А А + В = В

4. А + = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10. = Ø

Коммутативность операций

А + В = В + А; А В = В А

Ассоциативность операций

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения

А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения

А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAA, ACA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)

Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным

Пример.

Алгебра событий.

Пусть  - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

1. S, 2)  A, B  S  A+BS, ABS, A\BS.

Следствие = \  S

Пусть  содержит конечное число элементов, = {₁,…_n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств .

S={, {₁}, … {_n}, {₁,₂}, …{₁,_n}, …{_n-1,_n}, …{_{1, …,}_n}}, в ней всего 2ⁿ элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события, A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится - алгебра событий.

Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий  называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

1. A,

2) A₁, A₂, …A_n, …( A₁+A₂+ …+A_n+, …), ….

Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.

Вероятность. Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N – общее число случаев в Ω, а N_А – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа N_A случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = ₁, ₂,…,₆ N = 6.

А – количество очков кратно трем А = ₃,₆ N_A = 2.

.

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = ₁₁, ₁₂,…,₆₆; N =36.

_kl = (a_k, b_l), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N_A = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (N_A = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( N_A+B=N_A+N_B)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (N_Ø) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (N_A N_B).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций P_k (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена m_r способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку

	Сочетания	Размещения
Без возвращения
С возвращением

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно P_m==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).

Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

1. Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3² = 9.

2. Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3. Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4. Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираемm бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна.