Свойства плотности.

1. (функция распределения – неубывающая функция).

2. (по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение.

3. 

4. (по свойству 4 функции распределения)

5. 

6. , (Свойство 7 функции распределения)

Независимость случайных величин.

Случайные величины X, Yназываютсянезависимыми, если, где- функции распределения случайных величинX, Y.

Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y, получим.

Соотношение поэтому можно считатьопределением независимости непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде.

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

в дискретном случае,

в непрерывном случае.

Свойства математического ожидания

1. (по условию нормировки)

2. 

=

3. для независимых случайных величин.

=.

Ковариация (корреляционный момент).

Ковариациейслучайных величин называют.

Свойства ковариации.

1. 

2. 

По свойству 1

3. Если X, Yнезависимы, то, (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1.

Случайные величины называются некоррелированными,если,из некоррелированности не следует независимость,из независимости следует некоррелированность.

4. 

По свойству 1

===

5. 

Рассмотрим случайную величину .

.

Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии(приa=1)

.

Так как , то. Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительно aменьше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:

. Отсюда следует свойство 5.

6. Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы(Y = aX +b),необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость. Пусть Y=aX+b. Тогда

=

Достаточность. Пусть .Тогда (доказательство свойства 5)следовательно,z-детерминированная величина, т.е., поэтому величиныX, Y– линейно зависимы.

Коэффициентом корреляции называется.

Свойства коэффициента корреляции.

1. 

2. Если X, Y– независимы, то

3. 

4. 

5. тогда и только тогда, когдаX,Yлинейно зависимы.

Двумерное равномерное распределение

Случайный вектор (X, Y)равномерно распределен в областиD(площадьDравнаS), если его плотность распределения задана так:p(x,y) = 0, если x  D, p(x,y)= 1/S, еслиxD.

Пример.Случайный вектор(X,Y)равномерно распределен в прямоугольнике0xa, 0xb.

, аналогично .

, аналогично .

, аналогично .

Следовательно, случайные величины X, Yне коррелированны.

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениямиm_, m₂, дисперсиямии коэффициентом корреляции, если ее плотность задана:

Задача линейного прогноза.

Заданы характеристики случайного вектора. Вводится случайная величина – оценка- линейный прогноз. Вычислить, чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки:).

.

За счет выбора можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: .Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от(найти вершину параболы): . Подставляя это значение, найдем

. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров

.

При линейной зависимости оценка точна, погрешность равна нулю.

Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции ().