8. Изоморфизм аффинных пространств

Важным частным случаем аффинного отображения является изоморфизм аффинных пространств.

Определение 12. Биективное аффинное отображение называется изоморфизмом аффинного пространства на аффинное пространство . Если существует изоморфизм , то говорят, что аффинное пространство изоморфно аффинному пространству .

Обозначается .

Теорема 25.11. (Критерий изоморфизма афин. пространств)Аффинное отображение (1) является изоморфизмом аффинных пространств и тогда и только тогда, когда его однородная часть (2) есть изоморфизм линейных пространств Vⁿ и V^m .

Док-во: По определению линейное отображение является изоморфизмом линейных пространств, когда это отображение – биекция. Возьмем некоторую точку О . Согластно следствию 3 из 25.1, отображения являются биекциями.

Пусть – изоморфизм линейных пространств, т.е. биекция. Тогда отображение f= на основании теоремы 3.2 является биекцией и, следовательно, изоморфизмом линейных пространств.

Обратно, пусть f – изоморфизм аффинных пространств, т.е. биекция. Тогда отображение есть биекция и, следовательно, является изоморфизмом линейных пространств.

Следствие: Аффинные пространства и , связанные с линейными пространствами и над одним и тем же полем Р, изоморфны тогда и только тогда, когда n=m .

9. Аффинные преобразования. Выражение аффинного преобразования в координатах.

Пусть – аффинное пространство, связанное векторным пространством над полем Р.

Определение 13. Изоморфизм f аффинного пространства на себя называется аффинным преобразованием или автоморфизмом этого пространства.

Теорема 13. При аффинном преобразовании f пространства всякий репер (1) переходит в репер (2), а любая точка , имеющая в репере (1) координаты , переходит в точку , имеющую в репере (2) те же координаты.

Док-во: Так как однородная часть аффинного преобразования является автоморфизмом линейного пространства , то по свойству 5 из 19.4 базис переходит в базис и, следовательно, репер (1) переходит в репер (2), где . Координаты точки М в репере (1) определяются как коэффициенты в разложении .

Но при автоморфизме линейного пространства линейные зависимости между векторами сохраняются (см. 19.1). Поэтому

т.е. числа являются координатами точки в репере (2).

Для любых двух реперов (1) и (2) аффинного пространства существует единственное аффинное преобразование пространства , переводящее репер (1) в репер (2).

Теорема 25.15. Для любых двух систем аффинно независимых точек

(3) (4)

пространства существует аффинное преобразование, переводящее точки первой системы в соответствующие точки второй системы.

Пусть f произвольное аффинное преобразование пространства , переводящее репер (5) в репер (6). Это преобразование переводит точки (3) в точки (4). Найдем выражение произвольного аффинного преобразования f пространства в координатах. Фиксируем в пространстве некоторый репер (1). Рассмотрим репер (2), полученный из репера (1) с помощью преобразования f. Пусть – координаты точки в репере (1) и А= -матрица перехода от базиса (7) пространства к базису (8)

этого пространства. Возьмем произвольную точку М и ее образ =f (M)при отображении f. Пусть заданы координаты (9) точки М в репере (1) и координаты (10) точки в этом же репере. Согласно теореме 25.13. точка имеет в репере (2) координаты (9). Как известно из § 25.2, координаты (10) точки в репере (1) выражаются через координаты (9) этой же точки в репере (2) по формулам: . (11)

Использовав обозначения (8) из §25.2, перепишем формулы (11) в матричном виде:

(12)

Формулы (11) и (12) называются выражением аффинного преобразования f в координатах. Матрица А= называется матрицей аффинного преобразования f в репере (1). Отметим, что она совпадает с матрицей автоморфизма линейного пространства в базисе (7), являющегося однородной частью преобразования f . Отсюда следует, что |А| (13)

Покажем, что любые формулы вида (11) или (12) с условием (13) задают аффинное преобразование пространства .

Теорема 25.16. Пусть А= - произвольная, невырожденная матрица с элементами из поля Р и - произвольный набор чисел из Р. Поставив в соответствие произвольной точке М с координатами (9) в репере (1) точку с координатами (10) в том же репере, вычисленными по формуле (11) или (12), получим аффинное преобразование f пространства .

Теорема 25.17. Множество всех аффинных преобразований пространства является мультипликативной группой.