1) Абсолютная сходимость.

Дан ряд с произвольными слагаемыми. Рассмотрим ряд

составленный из абсолютных величин членов исходного ряда.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то и исходный ряд сходится.

Доказательство. Так как и ряд (1) сходится, то по тереме сравнения получаем сходимость ряда . Арифметические операции с рядами показывают, что сходится ряд равный разности сходящихся рядов и . □

Определение. Ряд такой, что ряд (1), составленный из абсолютных величин сходится, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1) расходится, а сам ряд сходится, то ряд называют условно сходящимся.

2)

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Если -- действительное число, то приходим к «школьному» модулю, ибо . Если , то угол, который образует вектор с действительной осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Пусть – модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда

(1)

Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Комплексная экспонента

Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:

Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:

Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются

(2)

В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:

Билет 5

1) Ряды Тейлора и Маклорена

Вспомним формулу Тейлора:

Пусть здесь -- бесконечно дифференцируемая функция. Тогда степенной ряд

называется рядом Тейлора функции в окрестности точки . В частном случае, когда , этот ряд называют рядом Маклорена.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

а) Разложение экспоненты

б) Разложение гармоник

в) Биномиальное разложение

Здесь -- параметр. Исследуем сходимость ряда (5):

Итак, разложение (5) имеет место для всех , ибо как функция так и сумма ряда в (5) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1+x)y'=my с начальными условиями y(0)=1.

г) Разложение логарифмической функции.

Интегрируя (8) на отрезке при условии , получим:

Это равенство верно при любом

Билет7

1) Интегральный признак сходимости Коши

Теорема (интегральный признак сходимости Коши). Пусть - монотонно убывающая, непрерывная и неотрицательная функция при . Положим для натуральных n. Тогда ряд и интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. При этом имеет место следующая оценка остатка ряда :

Доказательство по сути вытекает из рисунка. Имеем (*). Если ряд сходится, то и ряд сходится по теорем е сравнения. Отсюда следует, что интеграл имеет предел при . Из этого вытекает (с учетом монотонности функции ), что существует предел . Это доказывает сходимость интеграла . Наоборот, если последний интеграл сходится и равен , то для любого . Отсюда и из неравенств (*) следует ограниченность частичных сумм ряда. По лемме 1 из параграфа «теорема сравнения» вытекает сходимость ряда . Оценка остатка ряда следует из неравенства (*):

Следствие. Ряд сходится тогда и только тогда, когда . В частности, гармонический ряд расходится.

Доказательство. Применим теорему, беря в качестве функции . Если , то

в силу того, что . Если , то

неограниченно возрастающая функция. В случае из неравенства и уже доказанной расходимости гармонического ряда вытекает расходимость ряда (применяем теорему сравнения).

2) Функция комплексного переменного называется аналитической в точке, если она имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Аналитичность на замкнутой области D означает существование производной на некоторой открытой области G, содержащей D.

Имеют место обычные правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного и производная сложной функции. Производная постоянной функции равна 0. Если w=f(z) и z=g(w) -- две взаимно-обратные функции, то g'(w)= 1 / f'(z)

Предложение. Из аналитичности функции следует ее непрерывность.

Условия Коши-Римана. Если функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитична в точке z₀, то выполнены условия

Наоборот, если в открытой области существут и непрерывны все четыре частные производные и при этом выполнено в этой области условие (C-R), то функция аналитична.