38. Молекулярные спектры

МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ , спектры испускания и поглощения электромагн. излучения и комбинац. рассеяния света, принадлежащие свободным или слабо связанным молекулам. Имеют вид совокупности полос (линий) в рентгеновской, УФ, видимой, ИК и радиоволновой (в т.ч. микроволновой) областях спектра. Положение полос (линий) в спектрах испускания (эмиссионных М. с.) и поглощения (абсорбционных М. с.) характеризуется частотами v (длинами волн l = c/v, где с-скорость света) и волновыми числами

= 1/l; оно определяется разностью энергий Е и Е: тех состояний молекулы, между к-рыми происходит квантовый переход: (h-постоянная Планка). При комбинац. рассеянии величина hv равна разности энергий падающих и рассеянных фотонов. Интенсивность полос (линий) связана с кол-вом (концентрацией) молекул данного вида, заселенностью уровней энергии Е и Е: и вероятностью соответствующего перехода.

Вероятность переходов с испусканием или поглощением излучения определяется прежде всего квадратом матричного элемента электрич. дипольного момента перехода, а при более точном рассмотрении - и квадратами матричных элементов магн. и электрич. квадрупольного моментов молекулы (см. Квантовые переходы ). При комбинац. рассеянии света вероятность перехода связана с матричным элементом наведенного (индуцированного) дипольного момента перехода молекулы, т.е. с матричным элементом поляризуемости молекулы.

Состояния мол. систем, переходы между к-рыми проявляются в виде тех или иных М. с., имеют разную природу и сильно различаются по энергии. Уровни энергии нек-рых видов расположены далеко друг от друга, так что при переходах молекула поглощает или испускает высокочастотное излучение. Расстояние между уровнями др. природы бывает мало, а в нек-рых случаях в отсутствие внеш. поля уровни сливаются (вырождаются). При малых разностях энергий переходы наблюдаются в низкочастотной области. Напр., ядра атомов нек-рых элементов обладают собств. магн. моментом и электрич. квадрупольным моментом, связанным со спином. Электроны также имеют магн. момент, связанный с их спином. В отсутствие внеш. поля ориентации магн. моментов произвольны, т.е. они не квантуются и соответствующие энергетич. состояния вырождены. При наложении внеш. постоянного магн. поля происходит снятие вырождения и возможны переходы между уровнями энергии, наблюдаемые в радиочастотной области спектра. Так возникают спектры ЯМР и ЭПР (см. Ядерный магнитный резонанс , Электронный парамагнитный резонанс ).

У ядер с отличным от нуля электрич. квадрупольным моментом в неоднородном электрич. поле, создаваемом их окружением в молекуле, возможны различающиеся уровни энергии квадрупольного взаимод. при отсутствии внеш. постоянного поля. Переходы между этими уровнями дают спектры ЯКР (см. Ядерный квадрупольный резонанс ). Спектры ядерного гамма-резонанса связаны с переходами ядер нек-рых изотопов между их основным и возбужденными состояниями, а параметры этих спектров также зависят от окружения ядер в молекуле (см. Мёссбауэровская [Мессбауэровская] спектроскопия ).

Распределение по кинетич. энергиям электронов, испускаемых мол. системами в результате облучения рентгеновским или жестким УФ излучением, дает рентгеноэмктронная спектроскопия и фотоэлектронная спектроскопия . Дополнит. процессы в мол. системе, вызванные первоначальным возбуждением, приводят к появлению и др. спектров. Так, оже-спектры возникают в результате релаксац. захвата электрона с внеш. оболочки к.-л. атома на вакантную внутр. оболочку, а высвободившаяся энергия превращ. в кинетич. энергию др. электрона внеш. оболочки, испускаемого атомом. При этом осуществляется квантовый переход из нек-рого состояния нейтральной молекулы в состояние мол. иона (см. Оже-спектроскопия ).

Традиционно к собственно М. с. относят лишь спектры, связанные с оптич. переходами между электронно-колеба-тельно-вращат, уровнями энергии молекулы, связанными с тремя осн. типами энергетич. уровней молекулы - электронными Еэл, колебательными Екол и вращательными Евр, соответствующими трем типам внутр. движения в молекуле. За Еэл принимают энергию равновесной конфигурации молекулы в данном электронном состоянии. Набор возможных электронных состояний молекулы определяется св-вами ее электронной оболочки и симметрией. Колебат. движения ядер в молекуле относительно их равновесного положения в каждом электронном состоянии квантуются так, что при нескольких колебат. степенях свободы образуется сложная система колебат. уровней энергии Екол. Вращение молекулы в целом как жесткой системы связанных ядер характеризуется вращат. моментом кол-ва движения, к-рый квантуется, образуя вращат. состояния (вращат. уровни энергии) Евр. Обычно энергия электронных переходов порядка неск. эВ, колебательных-10-2 ... 10-1 эВ, вращательных-10-5 ... 10-3эВ.

В зависимости от того, между какими уровнями энергии происходят переходы с испусканием, поглощением или комбинац. рассеянием электромагн. излучения - электронными, колебат. или вращательными, различают электронные, колебат. и вращательные М. с. В статьях Электронные спектры , Колебательные спектры , Вращательные спектры приведены сведения о соответствующих состояниях молекул, правилах отбора для квантовых переходов, методах мол. спектроскопии, а также о том, какие характеристики молекул м. б. получены из М. с.: св-ва и симметрия электронных состояний, колебат. постоянные, энергия диссоциации, симметрия молекулы, вращат. постоянные, моменты инерции, геом. параметры, электрич. дипольные моменты, данные о строении и внутр. силовых полях и т. п. Электронные спектры поглощения и люминесценции в видимой и УФ областях дают информацию о распределении электронной плотности в основном и возбужденном состояниях. Абсорбционную и люминесцентную спектроскопии широко применяют как высокочувствит. аналит. методы, особенно при исследовании рфов. Колебательные М. с., т.е. ИК и КР спектры, используют для идентификации, определения структуры хим. соед., для количеств. анализа, в исследованиях хим. кинетики, адсорбции, катализа и т.д. Получаемые из М. с. данные необходимы для статистич. расчетов термодинамич. ф-ций в-в и равновесий в газовой фазе. Они важны для теоретич. химии, в частности для квантовой химии. Из М. с. получают информацию о межмол. взаимодействиях в конденсир. фазах, структуре мол. кристаллов и др. Спектры ЯМР, ЭПР, ЯКР, рентгено- и фотоэлектронные, оже-спектры, рентгеновские спектры поглощения и спектры рентгеновской флуоресценции, мёссбауэровские спектры и нек-рые др. также несут важную информацию о строении и св-вах молекул, характере хим. связи, распределении электронной плотности и т.п.

40. ЗО́ННАЯ ТЕО́РИЯ, квантовая теория энергетического спектра электронов в кристалле, согласно которой этот спектр состоит из чередующихся зон (полос) разрешенных и запрещенных энергий. Основы созданы Ф. Блохом, Л. Бриллюэном и Р. Пайерлсом в 1928-1931 гг. Зонная теория является основой современных представлений о механизмах различных физических явлений, происходящих в твердом кристаллическом веществе при воздействии на него электромагнитного поля. Это теория электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле кристаллической решетки.

В изолированном атоме энергетический спектр электронов имеет дискретный характер, т. е. электроны могут занимать лишь вполне определенные уровни энергии. Часть этих уровней заполнена при нормальном, невозбужденном состоянии атома, на других уровнях электроны могут находиться только тогда, когда атом подвергнется внешнему энергетическому воздействию, т. е. когда он возбужден. Стремясь к устойчивому состоянию, атом излучает избыток энергии в момент перехода электронов с возбужденных состояний на уровни, на которых его энергия минимальна. Переходы с одного энергетического уровня на другой всегда связаны с поглощением или выделением энергии.

В изолированном атоме существует сила притяжения ядром атома всех своих электронов и сила отталкивания между электронами. Если имеется система из N одинаковых атомов, достаточно удаленных друг от друга (например, газообразное вещество), то взаимодействие между атомами практически отсутствует, и энергетические уровни электронов остаются без изменения. При конденсации газообразного вещества в жидкость, а затем при образовании кристаллической решетки твердого тела все имеющиеся у атомов данного типа электронные уровни (как заполненные электронами, так и незаполненные) несколько смещаются вследствие действия соседних атомов друг на друга. В кристалле из-за близкого расстояния между атомами существуют силы взаимодействия между электронами, принадлежащими разным атомам, и между всеми ядрами и всеми электронами. Под влиянием этих дополнительных сил энергетические уровни электронов в каждом из атомов кристалла изменяются: энергия одних уровней уменьшается, других — возрастает. При этом внешние электронные оболочки атомов могут не только соприкасаться друг с другом, но и перекрываться. В частности притяжение электронов одного атома ядром соседнего снижает высоту потенциального барьера, разделяющего электроны уединенных атомов. Т. е. при сближении атомов происходит перекрытие электронных оболочек, а это в свою очередь, существенно изменяет характер движения электронов. В результате, электрон с одного уровня в каком-либо из атомов может перейти на уровень в соседнем атоме без затраты энергии, и таким образом свободно перемещаться от одного атома к другому. Этот процесс называют обобществлением электронов — каждый электрон принадлежит всем атомам кристаллической решетки. Полное обобществление происходит с электронами внешних электронных оболочек. Благодаря перекрытию оболочек электроны могут без изменения энергии посредством обмена переходить от одного атома к другому, т. е. перемещаться по кристаллу. Обменное взаимодействие имеет чисто квантовую природу и является следствием неразличимости электронов.

В результате сближения атомов на энергетической шкале вместо отдельных уровней появляются энергетические зоны, т. е. области таких значений энергии, которыми может обладать электрон, находясь в пределах твердого тела. Ширина зоны должна зависеть от степени связи электрона с ядром. Чем больше эта связь, тем меньше расщепление уровня, тем уже зона. В изолированном атоме имеются запрещенные значения энергий, которыми не может обладать электрон, в твердом теле могут быть запрещенные зоны. Энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру. Разрешенные энергетические зоны разделены запрещенными интервалами энергии. Ширина разрешенных энергетических зон не зависит от размера кристалла, а определяется лишь природой атомов, образующих твердое тело, и симметрией кристаллической решетки. Если ЭА — энергия обменного взаимодействия между двумя соседними атомами, тогда для кристаллов с простой кубической решеткой, где каждый атом имеет 6 ближайших соседей (координационное число = 6) , расщепление уровней в зоны составит 12ЭА, для гранецентрированной решетки (К.ч. = 12) ширина энергетической разрешенной зоны составит 24 ЭА, а в объемноцентрированной (К.ч. = 8) — 16 ЭА.

Поскольку обменная энергия ЭА зависит от степени перекрытия электронных оболочек, то уровни энергии внутренних оболочек, которые сильнее локализованы вблизи ядра, расщепляются меньше, чем уровни валентных электронов. Расщеплению в зону подвержены не только нормальные (стационарные), но и возбужденные энергетические уровни. Ширина разрешенных зон при перемещении вверх по энергетической шкале возрастает, а величина запрещенных энергетических зазоров соответственно уменьшается.

Каждая зона состоит из множества энергетических уровней. Их количество определяется числом атомов, составляющих твердое тело, т. о. в кристалле конечных размеров расстояние между уровнями обратно пропорционально числу атомов. В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, причем с противоположными спинами. Поэтому число электронных состояний в зоне оказывается конечным и равным числу соответствующих атомных состояний. Конечным оказывается и число электронов, заполняющих данную энергетическую зону. При сближении N атомов в каждой зоне появляется N подуровней. В кристалле объемом 1 см3 содержится 1022-1023 атомов. Экспериментальные данные показывают, что энергетическая протяженность зоны валентных электронов не превышает единиц электронвольт. Отсюда следует, что уровни в зоне отстоят друг от друга по энергии на 10-22 – 10-23 эВ, т. е. уровни располагаются настолько близко, что даже при низкой температуре эту зону можно считать зоной непрерывных разрешенных энергий, такая энергетическая зона характеризуется квазинепрерывным спектром. Достаточно ничтожно малого энергетического воздействия, чтобы вызвать переход электронов с одного уровня на другой, если там имеются свободные состояния. Т. е. в силу малого различия в энергии двух соседних подуровней орбитали валентных электронов в кристалле воспринимаются как непрерывная зона, а не как набор дискретных уровней энергии.

Более строго можно говорить лишь о вероятности пребывания электрона в той или иной точке пространства. Эта вероятность описывается с помощью волновых функций х, которые получают при решении волнового уравнения Шредингера. При взаимодействии атомов и возникновении химических связей изменяются и волновые функции валентных электронов.

Получение энергетического спектра электронов в кристалле, исходя из уровней энергии в изолированных атомах, называется приближением сильной связи. Оно более справедливо для электронов, находящихся на глубоких уровнях и менее подверженных внешним воздействиям. В сложных атомах энергия электронов определяется главным квантовым числом n и орбитальным квантовым числом l. Учет взаимодействий в кристалле (приближение слабой связи) показывает, что при образовании кристалла происходит расщепление уровней атомов на N(2l+1) подуровней, на которых может быть расположено 2N(2l+1) электронов.

Подобно энергетическим уровням в изолированных атомах, энергетические зоны могут быть полностью заполненными, частично заполненными и свободными. Внутренние оболочки в изолированных атомах заполнены, поэтому соответствующие им зоны также оказываются заполненными. Самую верхнюю из заполненных зон называют валентной зоной. Эта зона соответствует энергетическим уровням электронов внешней оболочки в изолированных атомах. Ближайшую к ней свободную, незаполненную зону называют зоной проводимости. Между ними расположена запрещенная зона. Заполнение зоны проводимости начинается, когда электроны в валентной зоне получают дополнительную энергию, достаточную для преодоления энергетического барьера, равного ширине запрещенной зоны.

Отсутствие каких-либо уровней энергии в запрещенной зоне характерно только для совершенных кристаллов. Любые нарушения идеальности периодического поля в кристалле влекут за собой нарушения идеальности зонной структуры. В реальном кристалле всегда имеются дефекты кристаллической решетки. Если количество дефектов в кристалле невелико, то они будут находиться на значительных расстояниях друг от друга, локализованы. Поэтому изменяться будет энергетическое состояние только тех электронов, которые находятся в области дефекта, что приведет к образованию локальных энергетических состояний, накладывающихся на идеальную зонную структуру. Число таких состояний либо равно числу дефектов, либо превышает его, если с дефектом связано несколько таких состояний. Расположение локальных состояний ограничено областью вблизи дефекта. Электроны, находящиеся на этих энергетических уровнях, оказываются связанными с дефектами и поэтому не могут участвовать в электропроводности. Т. е. уровни дефектов, на которых они расположены, располагаются в запрещенной зоне кристалла.

С ростом температуры возрастает амплитуда тепловых колебаний атомов, увеличивается степень их взаимодействия и степень расщепления энергетических уровней. Поэтому разрешенные зоны становятся шире, а запрещенные, соответственно, уже. При изменении межатомных расстояний в зависимости от характера расщепления уровней ширина запрещенной зоны может как увеличиваться, так и уменьшаться. Это происходит, например, под действием давления на кристалл.

Зонная теория позволяет сформулировать критерий, который дает возможность разделить твердые вещества на два класса — металлы и полупроводники (диэлектрики). Зонная теория первоначально была разработана для кристаллических твердых тел, однако в последние годы ее представления стали распространяться и на аморфные вещества.

…

Нами показано, что твердые тела имеют многозонный спектр энергии. Зонная теория твердых тел стала путеводной звездой для ученых и инженеров работающих в области твердотельной электроники, она позволяет не только объяснить удивительные свойства полупроводников но и позволяет предсказать как их можно радикально изменить. Представим себе кристалл, состоящий из N одинаковых элементов, каждый из которых содержит z электронов. Все эти электроны размещаются на энергетических уровнях соответствующих зонам кристалла. В первую очередь заполняются электронами зоны с наименьшей энергией, это электроны находящиеся непосредственно возле ядер, затем заполняются зоны с более высокими энергиями, пока не будут размещены все zN электроны. На каждом энергетическом уровне свободного (изолированного) атома могут находиться 2(2l+1) электронов: на s (l = 0) 2 электрона, на p (l = 1) 6 электронов, на d (l = 2) 10 электронов. При сближении атомов на месте одиночных уровней

на d (l = 2) 10 электронов. При сближении атомов на месте одиночных уровней

образуются энергетические зоны: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d… В каждой зоне N энергетических уровней, значит s – зоны могут вместить 2N электронов, p – зоны 6N электронов, d – зоны 10N электронов и т.д. (смотри рисунок).

В зависимости от характера заполнения электронами верхней зоны все твердые тела делятся на три группы: металлы, диэлектрики, и полупроводники. У некоторых твердых тел самая верхняя зона, содержащая электроны может быть заполнена частично, т.е. у нее имеется часть свободных уровней. Приложим к такому кристаллу внешнее электрическое поле, известно, что в конце длины свободного пробега под действием внешнего электрического поля, электроны приобретают энергию от 10-4 до 10-8 эВ. Эта энергия значительно больше, чем расстояние между соседними уровнями зоны (10-22 эВ). В связи с этим электроны верхней зоны переходят на свободные уровни с более высокой энергией (смотри рисунок). При этом электрон пространственно смещается по направлению против электрического поля, что указано стрелкой. Если смещающиеся электроны непрерывно отводить от тела, что возможно в электрической замкнутой цепи, то квантовые переходы электронов, которые указаны стрелкой, будут происходить непрерывно долго, пока в цепи будет источник внешнего поля. Таким образом, твердые тела с указанным характером заполнения верхней зоны будут хорошо проводить электрический ток, такие тела являются металлами. При этом проводимость металла не возрастает с ростом температуры, наоборот, с понижением температуры электропроводность увеличивается. При комнатной температуре проводимость “хороших” металлов

превращаются в зоны 1s, 2s, 2p, 3s. Последняя зона 3s будет содержать N электронов, а способна вместить 2N электронов, следовательно, последняя зона будет заполнена на половину, следовательно, кристаллы Na будут являться металлами. У некоторых кристаллов металлическая проводимость обусловлена тем, что самая верхняя зона, заполненная электронами перекрывается со следующей пустой зоной.

У многих твердых тел самая верхняя зона содержащая электроны может быть заполнена полностью электронами, а следующая за ней зона полностью пустая и отделена от предыдущей зоны большим промежутком запрещенных энергий

Такие твердые тела получили название диэлектриков (изоляторов). В этом случае основная полностью заполненная зона называется валентной (V – зона), а следующая за ней пустая зона разрешенных энергий называется зоной проводимости (C – зона). Промежуток запрещенных энергий, который разделяет валентную зону и зону проводимости называется запрещенной зоной. Ширина этого промежутка ,где - дно зоны проводимости- потолок валентной зоны. При T = 0 K0 диэлектрик не проводит электрический ток. При повышении температуры диэлектрика, электроны валентной зоны начинают взаимодействовать с колебаниями кристаллической решетки и получают от нее энергию ~ KT, но некоторые электроны получают значительно большую энергию. Процесс передачи энергии электронам – статистический. Тем неменее, число электронов, которые получают от решетки энергию

ничтожно мало. Значит, будет ничтожно мало число электронов, которые способны перейти за счет тепловых переходов из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, твердое тело с большой шириной запрещенной зоны плохо проводит электрический ток, их проводимость примерно равна , в лучшем случае электропроводность может быть активирована высокой температурой. Исходя из зонной схемы диэлектрика, можно сказать, что валентная зона и зона проводимости не перекрываются.

Если у твердого тела при T = 0 K0 самая верхняя зона полностью заполнена, а следующая за ней зона проводимости пустая и отделена от предыдущей зоны не широким промежутком запрещенных энергий то твердое тело называется полупроводником. Как видно принципиальной разницы между диэлектриком и полупроводником нет. При достаточно высоких температурах у полупроводников могут иметь место тепловые переходы из валентной зоны в зону проводимости за счет взаимодействия валентных электронов с ионами кристаллической решетки. Электроны, перешедшие из валентной зоны в зону проводимости, могут участвовать в переносе электрического тока. Появившиеся свободные уровни в валентной зоне (вакансии) будут также участвовать в переносе электрического тока. Носителями тока в валентной зоне являются дырки. Таким образом, проводимость полупроводника является активированной. При T = 0 K0 полупроводники как и диэлектрики не проводят электрический ток. Чем меньше , тем выше при прочих равных условиях электропроводность полупроводника. Электропроводность полупроводника лежит в широком диапазоне значений:

41. ЭФФЕКТИ́ВНАЯ МА́ССА, величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Например, движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы и сил со стороны кристаллической решетки может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной массой, отличной от массы свободного электрона.

Входящие в состав твердого тела атомы образуют правильную кристаллическую решетку, поэтому эффективное поле, действующее на какой-либо электрон со стороны ядер и всех остальных электронов, имеет пространственно периодический характер. Квантовомеханическое решение задачи о движении электрона в поле периодического потенциала показало, что стационарные состояния электрона в таком поле во многом напоминают состояния свободного электрона. Состояние свободной частицы характеризуется определенным значением импульса p , поскольку для свободной частицы импульс является сохраняющейся величиной. Так как импульс имеет строго определенное значение, то координаты электрона вследствие соотношения неопределенности (неопределенности принцип) Гейзенберга не имеют определенного значения, электрон как бы размазан по всему кристаллу, вероятность обнаружить его в любом месте одинакова.

Как и у свободной частицы, состояние электрона в периодическом поле характеризуется вектором p, который, в отличие от импульса свободной частицы, изменяется в некоторой ограниченной области, размер которой зависит от расстояния между атомами в кристалле. Как и свободная частица, электрон в стационарном состоянии в зоне не локализован, т. е. с равной вероятностью может быть обнаружен вблизи любого узла решетки. Оказалось, что зависимость энергии от импульса E(p) для электрона в разрешенной зоне такая же, как и у свободной частицы, с той только разницей, что масса свободного электрона должна быть заменена на некоторую эффективную массу m*

E(p)=p2/2m*

Энергия E(p) отсчитывается от дна соответствующей зоны. Эффективная масса может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона m. .Более того, она может быть анизотропной, если свойства действующего на электрон периодического поля различны по разным направлениям.

В физике твердого тела понятие эффективной массы вводится для того, чтобы максимально приблизить описание движения электрона в разрешенной зоне к движению свободного электрона. Понятие эффективной массы обобщают также для других типов возбуждений — фононов, фотонов, экситонов и др.

25 Дифракция Фраунгофера — случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. Расстояние должно быть таким, чтобы можно было пренебречь в выражении для разности фаз членами порядка что сильно упрощает теоретическое рассмотрение явления. Здесь z — расстояние от отверстия или преграды до плоскости наблюдения, λ — длина волны излучения, а ρ — радиальная координата рассматриваемой точки в плоскости наблюдения в полярной системе координат. Иными словами, дифракция Фраунгофера наблюдается тогда, когда число зон Френеля при этом приходящие в точку волны являются практически плоскими. При наблюдении данного вида дифракции изображение объекта не искажается и меняет только размер и положение в пространстве. В противоположность этому, при дифракции Френеля изображение меняет также свою форму и существенно искажается.

Дифракционные явления Фраунгофера имеют большое практическое значение, лежат в основе принципа действия многих спектральных приборов, в частности, дифракционных решёток. В последнем случае для наблюдения светового поля «в бесконечности» используются линзы или вогнутые дифракционные решетки (соответственно, экран ставится в фокальной плоскости). В скалярной теории дифракция Фраунгофера определяется следующим интегралом:

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори, который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Отражательные: Штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отражённом свете

Прозрачные: Штрихи нанесены на прозрачную поверхность (или вырезаются в виде щелей на непрозрачном экране), наблюдение ведется в проходящем свете.

Описание явления! Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для разных длин волн максимумы интерференции оказываются под разными углами (определяемыми разностью хода интерферирующих лучей), то белый свет раскладывается в спектр.

[править]

Формулы

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d.

Если известно число штрихов (N), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: d = 1 / N мм.

Условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид: где

d — период решётки,

α — угол максимума данного цвета,

k — порядок максимума, то есть порядковый номер максимума, отсчитанный от центра картинки,

λ — длина волны.

Если же свет падает на решётку под углом θ, то: Характеристики

Одной из характеристик дифракционной решётки является угловая дисперсия. Предположим, что максимум какого-либо порядка наблюдается под углом φ для длины волны λ и под углом φ+Δφ — для длины волны λ+Δλ. Угловой дисперсией решётки называется отношение D=Δφ/Δλ. Выражение для D можно получить если продифференцировать формулу дифракционной решётки Таким образом, угловая дисперсия увеличивается с уменьшением периода решётки d и возрастанием порядка спектра k.

[править]

Изготовление

Нарезка компакт-диска может считаться дифракционной решёткой.

Хорошие решётки требуют очень высокой точности изготовления. Если хоть одна щель из множества будет нанесена с ошибкой, то решётка будет бракована. Машина для изготовления решёток прочно и глубоко встраивается в специальный фундамент. Перед началом непосредственного изготовления решёток, машина работает 5-20 часов на холостом ходу для стабилизации всех своих узлов. Нарезание решётки длится до 7 суток, хотя время нанесения штриха составляет 2-3 секунды.

Применение

Дифракционную решётку применяют в спектральных приборах, также в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений (измерительные дифракционные решётки), поляризаторов и фильтров инфракрасного излучения, делителей пучков в интерферометрах и так называемых «антибликовых» очках.

Примеры: Один из простейших и распространённых в быту примеров отражательных дифракционных решёток — компакт-диск или DVD. На поверхности компакт-диска — дорожка в виде спирали с шагом 1,6 мкм между витками. Примерно треть ширины (0,5 мкм) этой дорожки занята углублением (это записанные данные), рассеивающим падающий на него свет, примерно две трети (1,1 мкм) — нетронутая подложка, отражающая свет. Таким образом, компакт диск — отражательная дифракционная решётка с периодом 1,6 мкм.

Тепловые излучения:

Испускаемый источником свет уносит с собой энергию. Существует много различных механизмов подвода энергии к источнику света. В тех случаях, когда необходимая энергия сообщается нагреванием, то есть подводом тепла, излучение называется тепловым или температурным. Этот вид излучения представлял для физиков конца XIX века особый интерес, так как в отличие от всех других видов люминесценции, тепловое излучение может находиться в состоянии термодинамического равновесия с нагретыми телами.

Изучая закономерности теплового излучения тел, физики надеялись установить мост между термодинамикой и оптикой. Если в замкнутую полость с зеркально отражающими стенками поместить несколько тел, нагретых до различной температуры, то, как показывает опыт, такая система с течением времени приходит в состояние теплового равновесия, при котором все тела приобретают одинаковую температуру. Тела обмениваются энергией только путем испускания и поглощения лучистой энергии. В состоянии равновесия процессы испускания и поглощения энергии каждым телом в среднем компенсируют друг друга, и в пространстве между телами плотность энергии излучения достигает определенного значения, зависящего только от установившейся температуры тел. Это излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с телами, имеющими определенную температуру, называется равновесным или черным излучением.

Плотность энергии равновесного излучения и его спектральный состав зависят только от температуры. Если через малое отверстие заглянуть внутрь полости, в которой установилось термодинамическое равновесие между излучением и нагретыми телами, то глаз не различит очертаний тел и зафиксирует лишь однородное свечение всей полости в целом. Пусть одно из тел в полости обладает свойством поглощать всю падающую на его поверхность лучистую энергию любого спектрального состава.

Такое тело называют абсолютно черным. При заданной температуре собственное тепловое излучение абсолютно черного тела, находящегося в состоянии теплового равновесия с излучением, должно иметь тот же спектральный состав, что и окружающее это тело равновесное излучение. В противном случае равновесие между абсолютно черным телом и окружающем его излучением не могло бы установиться. Поэтому проблема сводится к изучению спектрального состава излучения абсолютно черного тела. Решить эту проблему классическая физика оказалась не в состоянии. Для установления равновесия в полости необходимо, чтобы каждое тело испускало ровно столько лучистой энергии, сколько оно и поглощает. Это одна из важнейших закономерностей теплового излучения. Отсюда следует, что абсолютно черное тело при заданной температуре испускает с поверхности единичной площади в единицу времени больше лучистой энергии, чем любое другое тело.

Абсолютно черных тел в природе не бывает. Хорошей моделью такого тела является небольшое отверстие в замкнутой полости (рис. 8.1.1). Свет, падающий через отверстие внутрь полости, после многочисленных отражений будет практически полностью поглощен стенками, и отверстие снаружи будет казаться совершенно черным. Но если полость нагрета до определенной температуры T, и внутри установилось тепловое равновесие, то собственное излучение полости, выходящее через отверстие, будет излучением абсолютно черного тела. Именно таким образом моделируется абсолютно черное тело во всех экспериментах по исследованию теплового излучения. С увеличением температуры внутри полости будет возрастать энергия выходящего из отверстия излучения и изменяться его спектральный состав. Распределение энергии по длинам волн в излучении абсолютно черного тела при заданной температуре T характеризуется излучательной способностью r(λ, T), равной мощности излучения с единицы поверхности тела в единичном интервале длин волн. Произведение r(λ, T)Δλ равно мощности излучения, испускаемого единичной площадкой поверхности по всем направлениям в интервале Δλ длин волн. Аналогично можно ввести распределение энергии по частотам r(ν, T). Функцию r(λ, T) (или r(ν, T)) часто называют спектральной светимостью, а полный поток R(T) излучения всех длин волн, равный

называют интегральной светимостью тела. К концу XIX века излучение абсолютно черного тела было хорошо изучено экспериментально. В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к заключению, что интегральная светимость R(T) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры T: R(T) = σT4. Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман теоретически получил эту зависимость из термодинамических соображений. Этот закон получил название закона Стефана–Больцмана. Числовое значение постоянной σ, по современным измерениям, составляетσ = 5,671·10–8 Вт / (м2 · К4).

К концу 90-х годов XIX века были выполнены тщательные экспериментальные измерения спектрального распределения излучения абсолютно черного тела, которые показали, что при каждом значении температуры T зависимость r(λ, T) имеет ярко выраженный максимум (рис. 8.1.2). С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн, причем произведение температуры T на длину волны λm, соответствующую максимуму, остается постоянным: λmT = b или λm = b / T.

Это соотношение ранее было получено Вином из термодинамики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина: длина волны λm, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре T. Значение постоянной Винаb = 2,898·10–3 м·К.

При практически достижимых в лабораторных условиях температурах максимум излучательной способности r(λ, T) лежит в инфракрасной области. Только при T ≥ 5·103 К максимум попадает в видимую область спектра. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на 470 нм (зеленая область спектра), что соответствует температуре наружных слоев Солнца около 6200 К (если рассматривать Солнце как абсолютно черное тело). Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r(λ, T). В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Таким путем удалось получить зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от длины волны λ и температуры T:r(λ, T) = 8πkTλ–4.

Это соотношение называют формулой Релея–Джинса. Она согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн (рис. 8.1.3.). Кроме того, из нее следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость R(T) черного тела должна обращаться в бесконечность, а, следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры.

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком на основе новой идеи, чуждой классической физике. Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения нагретым телом электромагнитной энергии, происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта E прямо пропорциональна частоте света: E = hν,

где h – так называемая постоянная Планка, равная h = 6,626·10–34 Дж·с. Постоянная Планка – это универсальная константа, которая в квантовой физике играет ту же роль, что и скорость света в СТО. На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам ν, а не по длинам волн λ.

Здесь c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура. Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν << kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса. Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отказом от классических представлений, и сам Планк, совершив великое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики.

22

14 Первое уравнение Максвелла

К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними.

В частности, были известны:

закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами,

теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов (магнитных монополей),

закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами (см. также Закон Ампера и Открытие Эрстеда), и

законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. также Правило Ленца).

Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Клерком Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему (получившую его имя), состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую все измеримые характеристики электромагнитных полей и электрических токов, которая названа его именем. Прежде всего, Максвеллу мы обязаны строгим математическим описанием всех известных законов электромагнетизма (Фарадей, например, вообще формулировал все открытые им законы исключительно в словесной форме). Во-вторых, в сформулированную им систему Максвелл внес немало принципиально новых идей, отсутствовавших в исходных законах. В-третьих, он придал всем электромагнитным явлениям строгое теоретическое обоснование. И, наконец, в-четвертых, на основе составленной им системы уравнений Максвелл сделал ряд важных предсказаний и открытий, включая предсказание существования спектра электромагнитного излучения.

Давайте начнем со второго пункта. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи.

Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными.

Внеся столь важное дополнение в первое из четырех уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Решив составленное им дифференциальное волновое уравнение, Максвелл с удивлением обнаружил, что скорость распространения электромагнитных колебаний совпадает со скоростью света, к тому времени уже определенной экспериментально. Это означало, что столь знакомое всем явление, как свет, представляет собой электромагнитные волны! Более того, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн во всем известном спектре — от радиоволн до гамма-лучей. Таким образом, доскональное теоретическое исследование природы электричества и магнетизма привело к открытию, принесшему человечеству неисчислимые блага — от микроволновых печей до рентгеновских установок в стоматологических клиниках.

электрическим полем , циркуляция которого по замкнутому контуру отлична от нуля и равна ЭДС индукции:

С другой стороны, в соответствии с основным законом электромагнитной индукции Фарадея, величина ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока магнитной индукции, то есть: где интегрирование производится по произвольной поверхности, опирающейся на контур.

Приравнивая эти выражения, находим: Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля независимо от того присутствует в этом пространстве проводящий контур или нет (рис.15.3). Наличие контура лишь позволяет обнаружить это электрическое поле по возникновению индукционного тока в проводнике.

В общем случае электрическое поле слагается из потенциального поля , циркуляция которого по замкнутому контуру равна нулю, и вихревого поля : где На основании сказанного, сложив циркуляции полей и , приходим к первому уравнению Максвелла в интегральной форме: Интеграл в левой части берется по произвольному замкнутому контуру, в правой части – по произвольной поверхности, опирающейся на этот контур.