- Оптимальная стратегия первого игрока

- цена игры

2) При нахождении оптимальной стратегии второго игрока поступают следующим образом. Известна цена игры - ордината точки , как точки пересечения двух прямых. Нахождение стратегии определяется этой точкой . Поэтому второй игрок должен выбрать такие чистые стратегии (столбцы), которым будут соответствовать две прямые, проходящие через . Остальные столбцы выбирают с вероятностью 0. Выбирая эти столбцы, второй игрок получит минимальный проигрыш при любой стратегии первого игрока.

Пример 3: Найти оптимальные стратегии игроков для матрицы:

Находим М.о 1го игрока:

1. Огибающая показывает м.о.

Выигрышей первого игрока при любых

стратегиях второго игрока.

Точка определяет оптимальную

стратегию и цену игры

2. Нахождение оптимальной стратегии 2го игрока:

точка получается как пересечение прямых и , которые соответствуют стратегиям 2го игрока и , поэтому он должен выбирать стратегии и , а и =0. При таких условиях находим цену игры при любых стратегиях 1го игрока:

Аналогично рассмотрим случай, когда игровая матрица , т.е. второй игрок имеет две стратегии, которые он может выбирать с вероятностями и ., причем

(1).

Как и раньше будем находить м.о. проигрыша, но уже второго игрока при различных чистых стратегиях первого игрока. Этих стратегий будет всего m;

, .

Тогда м.о. выигрыша первого игрока будет иметь вид:

Т.е.

учитывая (1) получаем:

(2),

Обозначим , , тогда равенство (2) окончательно перепишется:

, , (3)

Геометрически уравнение (3) есть уравнение прямой линии в системе , а при получаем семейство прямых линий, характеризующих м.о. проигрышей второго игрока при различных стратегиях первого игрока. Графически это представлено на рисунке:

Для этого семейства прямых определим верхнюю границу проигрышей второго игрока – огибающую, которая представляет ломаную линию. На этой линии находим нижнюю точку М . Ордината этой точки есть наименьший проигрыш второго игрока при любых стратегиях первого игрока.

Окончательно получим:

- оптимальная стратегия второго игрока

- цена игры

Для нахождения оптимальной стратегии первого игрока рассуждают, как и в случае с матрицей .

Точка есть точка пересечения двух прямым, которые соответствуют двум чистым стратегиям и первого игрока. Поэтому, выбирая эти стратегии, если , а остальные свои стратегии с нулевой вероятностью, первый игрок получит выигрыш , при любых стратегиях второго игрока.

Пример 4: Найти оптимальные стратегии игроков для матрицы:

1)Находим М.о проигрыша 2го игрока, при выборе его 1 стратегии (строки)

- прямая проигрышей

2)

3)

4)

Л оманая огибает проигрыши 2го

Игрока сверху, на этой огибающей

Нижней точкой будет точка

Находим координаты этой точки:

- оптимальная

стратегия 2го игрока. - цена

игры. Нахождение : известна цена игры

, она определяется точкой , поэтому

1ый игрок должен выбрать такие

стратегии (строки), которым будут

соответствовать прямые, проходящие ч/з

точки , т.е. выбирать стратегии и , т.к. остальные строки выбираются с 0 вероятностью. Выбирая эти строки, 1ый игрок

получит максимальный выигрыш равный

при любой стратегии 2го игрока.

Выберем - оптимальная стратегия 2го игрока

получили тождество => для нахождения оптимальной стратегии 1го игрока нужно выбирать любые стратегии, кроме его оптимальных, т.к. в этом случае получаем тождество.

9.Эквивалентная запись определения оптимальных стратегий матричной игры

По определению оптимальной стратегии матричной игры должны удовлетворять следующему неравенству:

(1)

Рассмотрим эти неравенства отдельно:

1) решая это неравенство найдем оптимальную стратегию второго игрока по матрице как прямую задачу ЛП на максимум.

2) решая это неравенство найдем оптимальную стратегию первого игрока по матрице , как двойственную задачу ЛП на минимум.

Т.е. нахождение , как это было показано ранее, сводится к решению пары взаимно двойственных задач ЛП по данной игровой матрице .

Неравенство (1) можно эквивалентным образом переписать иначе.

Первое неравенство оставим прежним, т.е.:

(2)

Второе перепишем так:

Умножим обе части на -1:

Обозначим  , тогда предыдущее неравенство запишется:

В новых обозначениях неравенство (1) равносильно перепишется системой:

1) , где (2)

10.Биматричные игры

В конкретных ситуациях участвуют 2 игрока и . Выигрыши игрока определяются матрицей , а выигрыши игрока определяются матрицей (того же размера). Игра происходит следующим образом: игрок выбирает стратегию i (строку), а игрок стратегию j (столбец), тогда игрок получает выигрыш , а игрок - .

Биматричной игрой 2х лиц и называется игра, определяемая матрицами выигрышей для 1го игрока и для 2го игрока.

Оптимальными стратегиями игроков называются стратегии для , для , удовлетворяющие неравенствам: , .

Из полученного определения получаем следующий порядок нахождения оптимальных стратегий:

1. По матрице из неравенства находим оптимальную стратегию второго игрока как прямую задачу ЛП

2. По неравенству находим оптимальную стратегию игрока по матрице как решение двойственной задачи ЛП.

Схема решения биматричной игры:

			…
					1
					1
…					1
					1
	-1	-1	…	-1	0

										…
															1
															1
	…														1
															1
					-1	-1				…		-1			0

			…
					1
					1
…					1
					1
	-1	-1	…	-1	0

Оптимальные стратегии игрока находим по формуле:

, по матрице ,

а игрока по формуле:

, по матрице .

Цена игры находится по формулам:

- цена игры первого игрока

- цена игры второго игрока

Пример 5: Найти решение биматричной игры: