19.1.5. Задание кривых и областей на комплексной плоскости.
Так как
равен расстоянию между точками z
и z0,
то
1.
- уравнение окружности радиуса R
с центром в точке z0.
2.
- замкнутая область, ограниченная этой
окружностью, т.е. круг радиуса R
с центром в точке z0,
включающий свою границу.
3.
- открытая область, состоящая из точек,
находящихся вне круга радиуса R
с центром в z0;
круг не включен в эту область.
4.
-
эллипс, построенный на точках z1
и z2,
рассматриваемых как фокусы (большая
полуось равна 2а, малая -
)
(рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне
эллипса, описываются соответствующими
неравенствами.
5.
- гипербола с фокусами в точках z1
и z2;
расстояние между фокусами 2с=
,
между вершинами 2а
(рис.2). Уравнение
даёт ветвь гиперболы, расположенную
ближе к фокусу z2;
неравенство
- открытую область, содержащую фокус z1
и ограниченную соответствующей ветвью
гиперболы.
6.
(или
- прямая, параллельная оси
Оу.
- область, лежащая справа от этой прямой
(включая прямую);
- область слева от прямой (прямая не
включена в область).
(или
- прямая параллельная оси
Ох;
,
- области, расположенные выше и ниже
этой прямой.
7.
- луч, выходящий из точки
под углом
к оси Ох.
- луч, выходящий из точки
под углом
к оси Ох.
- область, расположенная между лучами,
выходящими из точки
(рис. 3.).
Пример построения области на комплексной плоскости, заданной системой неравенств:
|
построить
область
|
|
Определим,
какая область даётся неравенством
|
:
,
п
оэтому
- замкнутый круг радиуса 3 с центром в
точке
.
Неравенство
даёт область, находящуюся справа от
правой ветвью гиперболы с полюсами
,
включающую эту ветвь. Параметры гиперболы:
.
Последнее неравенство определяет
полуплоскость
.
В результате получаем заштрихованную
область, изображённую на рисунке справа.
19.1.6.
Окрестности точек плоскости
.
Под
-
окрестностью точки
понимается открытый круг радиуса
с центром в точке
:
.
Проколотая окрестность точки
- любая ее окрестность, из которой
исключена сама точка
:
.
-
окрестность несобственной точки
- это внешность круга радиуса
с центром в начале координат (включающая
саму точку
):
.
Проколотая
-
окрестность точки
- множество
.