19.7. Теория интегралов Коши.

Мы доказали, что интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Сейчас мы испортим функцию в одной-единственной точке z₀ введением множителя ; поразительно, какие глубокие выводы получил Коши для интегралов вида .

19.7.1. Интеграл (). Возможные случаи: 1. Точка z₀ лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.

2. . И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю

3. n = - 1, и точка z₀ лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности с центром в точке z₀ радиуса столь малого, что окружность лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и , функция аналитична, поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) . Правый интеграл вычислим напрямую. Как и при вычислении любого криволинейного интеграла, мы должны параметризовать кривую. Если z₀ = x₀ + iy₀, то параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точке (x₀, y₀) имеют вид Можно воспользоваться этими уравнениями, однако проще собрать их в комплексное число: (таково параметрическое уравнение окружности на комплексной плоскости С), тогда , и .

4. n = -2, -3, -4, … . Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем. вследствие периодичности первообразной.

Итак, мы доказали, что при целом n не равен нулю в единственном случае - когда n = -1. В этом случае . Строго говоря, перебирая различные возможности, мы не рассмотрели вариант, когда точка z₀ лежит на контуре L. В этом случае подынтегральная функция теряет определенность в точке z₀, и необходима теория несобственных комплексных интегралов. В то же время очевидно, что если точка , находясь внутри контура L, то , если же извне контура L, то . Вообще эти вопросы - предмет теории Сохоцкого.

19.7.2. Интегральная формула Коши. Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D₁, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки имеет место формула

.

Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z₀ портится как раз введением множителя . Доказательство очень похоже на доказательство того, что . Мы окружим точку z₀ окружностью радиуса столь малого, что на f(z) мало отличается от f(z₀): , тогда . Более строго, возьмём столь малым, что окружность радиуса с центром в f(z) лежит в D₁. Функция w = f ( z) аналитична в двусвязной области, заключенной между L и , поэтому (следствие из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области) . Распишем последний интеграл: . Второй интеграл здесь равен . Первый интеграл а). не зависит от ( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между и , где - окружность радиуса , и по тому же следствию из19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области ; б). . Из этих утверждений а) и б) следует, что первый интеграл .

Докажем утверждение б). Обозначим , при этом, вследствие непрерывности функции, . Оценим по модулю (учитывая, что ): . Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: .

Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы.

1. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области. Этот факт можно сформулировать в виде теоремы о среднем. Возьмём такое, что окружность радиуса с центром в лежит в D_1. Тогда , и . Поэтому справедлива

2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой точке z₀ равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z₀.

Теорема доказана в предположении, что точка z₀ лежит внутри контура L. Если z₀ находится вне контура, то , так как подынтегральная функция аналитична в .

3. Формула справедлива и для многосвязной области, если под кривойL подразумевать полную границу области. В дальнейшем нам понадобится такой вариант: f(z) аналитична в замкнутом кольце, ограниченном окружностями и . Тогда для всех z, лежащих внутри кольца, ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. В последней формуле переобозначены переменные: .

19.7.3. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: . Продифференцируем эту формулу по z: (на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства). Продолжим дифференцирование: ; , и вообще . Следовательно:

Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.

19.7.4. Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z₀ должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Примеры: 1.. Здесь f(z) = e^z, z₀ = 3 лежит внутри круга |z - 1| = 4, поэтому .

2. . Здесь внутри круга

L₁ = { z| | z + 1| = 2} лежит точка z₀ = 0, поэтому

f(z) = sin z/(z – 3) и .

3. . Здесь внутри круга

L₂ = { z| | z - 2,5| = 1} лежит точка z₀ = 3, поэтому f(z) = sin z/z и .

4. . Здесь внутри круга L₃ = { z| |z| = 4} лежат обе точки и , но, по следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области, .

5.. Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой при : .