Лекция 5. Интегральная формула Коши.

Интегральная формула Коши

Пусть функция аналитическая в односвязной областиG. Пусть кусочно-гладкий контурLпринадлежитGвместе со своей внутренностьюD. Пусть, тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

=, где- окружность с центром в точке, радиусом,. Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как(важный пример в предыдущей лекции), то. Оценим || =

= ||

(на окружности ,, так как. По непрерывности функции).

. В силу произвольности|| = 0. Следовательно,.

Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z₀, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу дляn– ой производной аналитической функции.

,,….

.Это - формула для n – ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида

,.

Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)

2.(по формуле для первой производной)

3. Вычислить. Аналитичность функции нарушается в точкахz=0,z=1. Рассмотрим два контура:– окружности с центрами в точкахz=0,z=1, радиусамиr=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области=+==

=.

Лекция 6. Ряды в тфкп

Большая часть теорем из теории рядов ТФКП доказывается аналогично соответствующим теоремам из теории рядов действительных переменных.

Числовые ряды.

Числовой ряд называетсясходящимся, если сходится последовательность его частичных суммили.

Теорема. Для того чтобы ряд, где, сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды из действительных и мнимых частей,.

Доказательствоследует из теоремы лекции 2 относительно эквивалентности сходимости последовательности сходимости последовательностей действительных и мнимых частей.

Следствие. Если рядили рядрасходятся, то рядрасходится.

Доказательство (от противного) – проведите сами.

Замечание. Эта теорема как раз и «перекидывает мостик» между изученными ранее рядами действительной переменной и рядами комплексной переменной.

Критерий Коши. Для того чтобы числовой рядсходился, необходимо и достаточно, чтобы.

Доказательство.

Необходимость. Если ряд сходится, то ряды,сходятся. Следовательно, для них выполняется критерий Коши. Тогда..

Выбирая,получим.

Достаточность. Пусть. Тогда, так как, то для рядов,выполнен критерий Коши. Следовательно, они сходятся. Тогда, по доказанной теореме рядсходится.

Теорема.Если рядсходится, то рядсходится (если ряд сходится абсолютно, то он сходится).

Доказательство. Ряд – знакоположительный числовой ряд, так как- неотрицательное действительное число. Так каксходится и, то по первому признаку сравнения знакоположительных числовых рядов рядсходится. Аналогично, так как, то по первому признаку сравнения рядсходится. Поскольку ряды,сходятся абсолютно, то они сходятся. Тогда и рядсходится.

Пример. Ряд сходится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды из действительных и мнимых частей.