Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контураи вне друг друга. Пусть- аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда.

D m A K B E p q r s n

Соединим контуры линиями AB,CD,EK. По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmAи по контуру AnKEsDCrBAравны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях

Складывая интегралы, получим

. Отсюда имеем

. Теорема доказана для случаяn= 2. Дляn> 2 доказательство аналогично.

Следствие 1. В условиях теоремы приn= 1 будет. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.

Следствие 2. Если кусочно-гладкий контуродин раз охватывает некоторую точку,.а контурLn раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы. Докажите это самостоятельно.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Введем интеграл с переменным верхним пределом . Ясно, что эта запись имеет смысл, если интеграл не зависит от дуги, по которой производится интегрирование, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.

Пусть

- функция непрерывна в односвязной областиG,

• вдоль любой кусочно-гладкой дугиAB, принадлежащейG, не зависит от формы дуги, а зависит только от значений функции в точкахA,B.

Тогда .

Доказательство.

.

,

Такая запись оправдана тем, что дугу, соединяющую точки z₀иz+ z, можно провести через точкуz, так как интеграл не зависит от формы дуги. На том же основании выберем дугу, соединяющую точкиzиz+ z, отрезкомпрямой линии, тогда,. Заметим, что(свойство 6 интеграла). Надо доказать, что.

Оценим

(По непрерывности функции . Точкаtлежит на отрезке, соединяющем точкиzиz+ z, поэтому.)

(использованы свойства 4, 6 интеграла).

Следовательно, .

Поэтому . Теорема доказана.

Функция Ф(z) называетсяпервообразной для функцииf(z), если.

Следствие. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом, он является первообразной для подынтегральной функции.

Теорема.Пусть Ф₁(z), Ф₂(z) – две первообразные для функцииf(z), тогда

Ф₁(z) = Ф₂(z) + С (С- константа).

Доказательство.Обозначимg(z) = Ф₁(z) – Ф₂(z).g^’(z) = Ф₁^’(z) – Ф₂^’(z) =f(z) –f(z)=0.

Пусть g(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда . Отсюда

.

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть справедливы условия теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом. Пусть Ф(z)– первообразная для функцииf(z). Тогда

Доказательство.по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом – первообразная для функцииf(z). ПоэтомуJ(z)=Ф(z)+С.

J(z₀) = 0 = Ф(z₀) +C, отсюда С = - Ф(z₀). ТогдаJ(z₁) = Ф(z₁) + С = Ф(z₁) - Ф(z₀).