Лекция 3 Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке tи некоторой ее окрестности функцию действительной переменнойz(t).

Рассмотрим точку z, дадим приращениеz,=argz. Тогда . При секущая переходит в касательную, , где- угол наклона касательной к графику в точке . Тогда =

Наличие ненулевой производной означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным.

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной . Пусть, где- действительное число. Тогда- комплекснозначная функция действительной переменнойz(t), дифференцируемая в точкеtи некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

.Следовательно, - аргумент производной аналитической функции. имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точкепри ее отображении посредством функции.

Так как ,, то-модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции .Все это справедливо в тех точках, в которыхпроизводная отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции ,то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точкеzна один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтомуотображение посредством аналитической функции(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение (), как было показано выше, сводится к повороту на уголи растяжению враз.

Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции ,а если может, то восстановить эту функцию.

Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции ,а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция .

Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если -функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана. Дифференцируем частным образом первое равенство поx, второе поyи складываем. Получим, поэтому функция- гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство поy, второе поxи вычитаем из первого равенства второе. Получим, поэтому функция- гармоническая.

Следовательно, если функция или функцияне являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

Пусть функция и функция- гармонические функции. Покажем, как можно восстановить аналитическую функцию по известной действительной части.

Восстановление функции по аналогично.

1 способ.

Сравнивая оба выражения, определяем. Теперь.

Замечание. При восстановлении по функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

2 способ. (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение поxи приравнять известной функции.

. Решая это дифференциальное уравнение, получим,+С,.

3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функцияx,y. Гораздо приятнее получить ее в видеf(z). В третьем способе используется формула для производной. Так как функцияизвестна, тоопределяется как функция (x,y). Функцию определяем по формуле

.

Пример.Задана функция=. Проверить, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действительной частью. Если возможно, то восстановить.

Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.

1 способ.

.

Сравнивая эти выражения, имеем ,

. Поэтому+ Сi= .

2 способ.

.,

Поэтому + Сi = .

3 способ.

. Здесь С – комплексное число.

Лекция 4