Множества на комплексной плоскости.

Для того, чтобы правильно строить типичные кривые на комплексной плоскости, прежде всего надо помнить, что . Следовательно,- это окружность радиусас центром в точкена комплексной плоскости (расстояние от точкидо точки равно).- это круговое кольцо с центром в точке, включая внутреннюю окружность радиусом, исключая внешнюю окружность радиусом.

- это прямая линия на комплексной плоскости,- угол наклона прямой к действительной оси. Некоторые часто встречающиеся кривые и области изображены ниже

При построении двух последних областей надо вспомнить определение эллипса (геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости постоянна и равна()) и определение параболы (геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от фиксированной точки плоскостиравно расстоянию до фиксированной прямой).

Открытые и замкнутые множества, односвязное множество.

называется множество.

Точка называетсявнутренней точкой множества,если существует ее окрестность, целиком принадлежащая этому множеству. Например, все точки круга- внутренние.

Точка называетсяграничной точкой множества, если в любой ее окрестности найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству.Границей множества называется совокупность его граничных точек. Например, окружность- граница круга.

Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Например, круг- открытое множество.

Замыканием множества называется объединение множества и его границы.Замкнутымназывается множество, совпадающее со своим замыканием.

Множество называется ограниченным,если его можно накрыть кругом конечного радиуса.

Открытой областью (или просто областью) называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству.

Замкнутой областью называется объединение открытой области и ее границы.

Рассмотрим последовательность комплексных чисел . Последовательность называетсянеограниченно возрастающей, если. То есть все элементы неограниченно возрастающей последовательности нельзя накрыть кругом конечного радиуса.

По определению полагают, что все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к (единственной) бесконечно удаленной точке (илиБУТ), которая не принадлежит комплексной плоскости. Пополняя комплексную плоскость, мы получаемрасширенную комплексную плоскость.

Пояснить единственность бесконечно удаленной точки можно, рассматривая сферу Римана

Сфера находится на комплексной плоскости. Проведем прямую из верхней точки сферы (ее северного полюса) в какую-либо точку комплексной плоскости. Прямая «проткнет» сферу в некоторой точкеM. Организуем из точекzплоскости неограниченно возрастающую последовательность. Образы этих точек стремятся к точкеP, а сама точкаPявляется отображением бесконечно удаленной точки плоскости.

Кривой на комплексной плоскости называется однопараметрическое семейство точек плоскости.Точкой самопересечения или кратной точкой кривойназывается точка, отвечающая двум или более значениям параметра.

Кривая, не содержащая кратных точек, называется простой или жордановой кривой. Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом.

Теорема Жордана. Любая замкнутая жорданова кривая делит расширенную комплексную плоскость на две области, общей границей которых она является. Одна из этих областей ограничена и называется внутренностью кривой. Вторая не ограничена и называется внешностью кривой.

Множество называетсяодносвязным,если для любой замкнутой кривойлибо внутренность кривой принадлежит, либо внешность кривой принадлежит. Например, множества, да и все изображенные на рисунках области, за исключением кругового кольца- односвязные, они «не содержат дыр».