Дополнение -функция, преобразование Лапласа -функции и ее разложение в ряд Фурье.

t Определим - образную последовательность функций. Заметим, что.-функцией называется .

-функция не является обычной функцией, это – обобщенная функция, .

Если функцию Хевисайда 1(t)=можно интерпретировать какединичный скачок,

то -функцию можно считать единичным импульсом (единичным в смысле площади под графиком функции). Эти понятия используются в теории автоматического управления, в кибернетике. Можно считать, что .

Справедливо «фильтрующее свойство - функции».

Интеграл представляет собой «фильтр», который пропускает то значение функции, при котором аргумент -функции обращается в нуль. На этом свойстве, которое доказывается в теории обобщенных функций, базируются, фактически, все применения -функции.

Преобразование Лапласа -функции.

.

Как видно, обычными изображениями эти выражения не являются, так как не выполнено необходимое условие изображения.

Разложение -функции в ряд Фурье.

Разложим -функцию в ряд Фурье как функцию, заданную на отрезке .

.

.

Лекция 5.

Преобразование Фурье.

Ряд Фурье в комплексной форме.

=

Следовательно, .

Интеграл Фурье.

Теорема. Пусть 1) ограничена наR, 2) абсолютно интегрируема наR, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда

, .

Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в ряд Фурье на.

. Перейдем к пределу при . Так как, то.

Второе слагаемое при переходит в(предел интегральной суммы). Следовательно, в точках непрерывности

.

Косинус и синус – преобразования Фурье.

Заметим, что подынтегральная функция в интеграле Фурье четна по . Поэтому

1. Пусть - четная функция, тогда

В точках непрерывности =.

- обратное косинус – преобразование Фурье

- косинус – преобразование Фурье.

2. Пусть - нечетная функция, тогда

=.

- обратное синус – преобразование Фурье

- синус – преобразование Фурье.

Преобразование Фурье.

Из формулы интеграла Фурье по четности подынтегральной функции по имеем

= =

+.

Рассмотрим второй интеграл и сделаем в нем замену .

= =

Получили первый интеграл, следовательно, второй интеграл равен первому. Поэтому

==.

называются прямым и обратным преобразованием Фурье.

Часто множитель относят ко второму интегралу:

Связь преобразований Лапласа и Фурье.

Запишем преобразование Лапласа =

= . Таким образом, преобразование Лапласа функции есть преобразование Фурье функции . Заметим, что ограниченность функции следует из выполнения требования к оригиналу по Лапласу : . Тогда ||< .