Лекция 4. Решение дифференциальных уравнений и систем Методом операционного исчисления.

При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной.

Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.

Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения.

Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функциии ее производных с правой частью – функцией, являющейся оригиналом

.

Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях .

Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства.

.

Приведем коэффициенты при в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть.

,

где - характеристический многочлен,

Найдем изображение решения

.

Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то и второе слагаемое пропадает.

Примеры.

1. 

,

Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала:.

.

2. 

по теореме о дифференцировании изображения.

3. 

4. 

.

Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал для последнего слагаемого по теореме разложения.

=.

Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

Задано дифференциальное уравнение

с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения при. Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.

,

Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля

. Для вычисления выбирается одна из этих формул.

Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

.

Матричный способ решения.

Применим к обеим частям преобразование Лапласа

Теперь надо найти оригинал для вектора.

Координатный способ решения.

Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.

Примеры.

1. Матричный способ

- три раза применена теорема об интегрировании оригинала,

2. 

Координатный способ.

,

Примеры решения типовых домашних задач.

1. Найти изображение для оригинала .

По теореме об интегрировании изображения .

2. Найти оригинал по изображению .

По теореме об интегрировании оригинала .

3. Найти оригинал по изображению .

Особые точки функции - полюсы первого порядка. По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения)

.

4. Найти изображение периодического импульса с периодом 2

.

5. 

По третьей (или второй) теореме разложения

~.

6.

,

.

7. 

,