Теоремы о начальном и конечном значениях.

Теорема о конечном значении. .

Доказательство. (теорема о дифференцировании оригинала). Перейдем к пределу при.

Предел левой части ,

Предел правой части . Приравнивая эти выражения, получим .

Теорема о начальном значении. .

Доказательство. (теорема о дифференцировании оригинала).- оригинал, поэтому. Поэтому.

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство.Обозначим. Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу).. Обозначим. По теореме о дифференцировании оригинала. Так как, то.

Следовательно, .

Пример. .

.

Теорема о дифференцировании изображения. .

Доказательство. .Дифференцируем обе части по.

. Тогда.

Пример.Найти оригинал для изображения.

. Поэтому.

Пример.Найти изображение функциидвумя способами.

1. . По теореме смещения.

2. . Дважды применим теорему о дифференцировании изображения:,.

Теорема об интегрировании изображения. Если- оригинал, то.

Доказательство. Обозначим. Тогда.

По теореме о дифференцировании изображения . Но. Поэтому=, так как.

Пример..

Лекция 2. Теоремы запаздывания и свертки.

Теорема запаздывания.

Здесь - функция, удовлетворяющая условию физической реализуемости и смещенная по оси времени вправо на- «запаздывающая функция».

Доказательство . Заметим, что =0 при,.

.

Изображение периодической функции.

Пусть функция - периодическая с периодом Т. Обозначим.

Вычислим =. Представим функциюв виде

и применим теорему запаздывания .

Примеры.

1. Найти оригинал по изображению .

. По теореме запаздывания .

2) Найти изображение периодической функции с периодом Т.

,

Изображения элементарных импульсов.

Прямоугольный импульс.
Треугольный импульс.
Трапецеидальный импульс
Синусоидальный импульс

Свертка.

Сверткой двух функций называется интеграл=.

Свойства свертки.

1. Коммутативность.

2. Ассоциативность.

(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).

3. - оригинал, если - оригиналы.

Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.

Пусть . Обозначим.

а)

<

б) .

.

Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .

Доказательство.

= =

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению

.

Интеграл Дюамеля.

,

,

Эти соотношения называются интегралом Дюамеля.

Доказательство. Выражения, стоящие в одной строке равны по коммутативности свертки. Докажем первые соотношения в строках.

Но . Отсюда следует справедливость первого соотношения в первой строке.

Но . Отсюда следует справедливость второго соотношения во второй строке.

Лекция 3.

Теоремы разложения.

Сформулируем достаточные условия изображения– требования, предъявляемые к функции комплексной переменной, чтобы она была изображением некоторого оригинала.

1. Функция - аналитическая при(константаопределяет третье требование к оригиналу).

2. сходится ().

3. .

При выполнении этих требований функция является изображением некоторого оригинала.

Теорема обращения.Пусть функцияудовлетворяет достаточным условиям изображения. Тогда справедлива формула обращения

Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Римана – Меллина, он осуществляетобратное преобразование Лапласа(переход от изображения к оригиналу).

Доказательство см.т.Х1 учебника, стр.160 – 166.

Приведем без доказательства лемму Жордана(здесь она используется в доказательстве теоремы обращения и в доказательстве общей теоремы разложения, несколько иная ее форма применена в лекции 9 по ТФКП для вычисления несобственных интегралов).

Построим контур- часть окружности радиусомRс центром в начале координат, лежащую в области, отметим на ней точки с абсциссой(). Лемма Жордана.Пусть - аналитическая в полуплоскости. Пустьпри,равномерно по аргументу (т.е. при,выполнено условие) Тогда

Общая (третья) теорема разложения.

Пусть - аналитическая за исключением конечного числа особых точек . Пусть при , равномерно по аргументу . Тогда .

Доказательство.Пусть в область, ограниченнуюи отрезком, соединяющим точки, попалоmизnособых точек. По общей теореме о вычетах

. Устремим. Внутрь рассматриваемой области войдут тогда всеnособых точек. К первому слагаемому может быть применена лемма Жордана, его предел при.будет равен нулю. Ко второму слагаемому может быть применена теорема обращения. Его предел при.будет равен. Следовательно, в результате предельного перехода получим, сокращая обе части на, .

Следствие. Первая теорема разложения.

Пусть . Тогда .

Доказательство. Отыщем оригиналот изображения. По общей теореме разложения=.

По равномерной сходимости ряда Лорана допустимо его почленное интегрирование ( при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения

.

Следствие. Вторая теорема разложения.

Пусть имеет в качестве особых точек только полюсыкратности. Тогда

Доказательство теоремы сводится к применению общей теоремы разложения и формулы вычисления вычета в полюсепорядка.