Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

Теорема. Пусть функция- аналитическая в верхней полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек, лежащих в верхней полуплоскости непрерывна на действительной оси, удовлетворяет (при больших |z|) неравенству. Тогда

Доказательство. Выберем контур полуокружностьюрадиуса, лежащей в верхней полуплоскости, с основанием – отрезкомдействительной оси,- достаточно велико, чтобы все особые точки лежали внутри контура. По общей теореме Коши о вычетах=

. Оценим . Поэтому. Устремляя, имеем.

Пример. Вычислить . Подынтегральная функция, рассматриваемая как функция комплексной переменной, имеет в верхней полуплоскости имеет полюс второго порядка.

=

Лемма Жордана. Пусть функция -аналитическая в полуплоскости()за исключением конечного числа особых точек. Пустьгде. Тогдавыполнено

.

Замечание. Применяя лемму Жордана к функции, можно сформулировать лемму Жордана для полуплоскости.

Пусть функция -аналитическая в полуплоскости()за исключением конечного числа особых точек. Пустьгде. Тогдавыполнено

.

Пример (стр. 214 задачника А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, ч.2 1986).

Вычислить интегралы ,. Эти интегралы являются мнимой и действительной частями интеграла, к которому применима лемма Жордана. Подынтегральная функция, как функция комплексной переменной, имеет в в верхней полуплоскости один полюс. Вычисляя вычет и применяя общую теорему о вычетах, получим

==+i.

Поэтому =,=.

Часть 3. Операционное исчисление Лекция 1 Преобразование Лапласа, таблица изображений.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, при котором функциядействительной переменнойпреобразуется в функциюкомплексной переменнойпо формуле=.

Функция называется прообразом илиоригиналом, функцияназывается образом илиизображением (по Лапласу). Принято обозначать соответствие оригинала и изображения.

Не всякая функция может быть оригиналом, она должна удовлетворять определенным требованиям.

Требования, предъявляемые к оригиналу.

1. Условия Дирихле.

• На любом конечном интервале изменения аргумента функция может иметь не более конечного числа точек разрыва и не более конечного числа точек экстремума.

• Допустимы только разрывы первого рода, разрывы второго рода не допускаются.

2. Условие физической реализуемости. .

3. Функция не может расти быстрее экспоненты..

В операционном исчислении для обеспечения физической реализуемости любая функция умножается на функцию Хевисайда - «единичный скачок» или единичную функцию. Это подразумевается, то есть всегда.

Теорема.Изображение определено в полуплоскостии является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Доказательство.(Аналитичность – без доказательства) Вычислим =. Из 3 требования к оригиналу . Оценим

= .

Следствие. Если - изображение, то

Доказательство. .

Найдем изображения по Лапласу единичной функции и экспоненты.

..

.

Свойства преобразования Лапласа (простейшие теоремы).

Линейность (здесь,). Докажите самостоятельно, опираясь на свойство линейности интеграла.

Следствие..

Пример. Найдемизображения по Лапласу тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса.

Теорема подобия. .

Доказательство..

Примеры. ,

.

Теорема смещения. .

Доказательство.

Здесь по теореме об области определения изображения.

Примеры.

Заданы изображения найти оригиналы .

.

.

Теоремы о дифференцировании и интегрировании.

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда.

Доказательство., так как.

Следствие.Если- оригинал, то.

Доказательство.

….

Например, .