Лекция 8. Особые точки функций комплексной переменной. Правильная точка.

Пусть функция - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки. Если существует комплексное числоA, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки(включая точку), то точканазываетсяправильной точкой функции. Если такого числа не существует, то точканазываетсяизолированной особой точкой (однозначного характера).

Если - правильная точка функции, то.

Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции, необходимо и достаточно, чтобы функциибыла ограниченной в окрестности точки.

Доказательство.Необходимость. Если- правильная точка функции, то, доопределяя ее в точке, сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки.

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точкии ограничена в окрестности.

Так как функция аналитическая в круговом кольце, то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана. Справедливы неравенства Коши. Рассмотрим.. Следовательно,.Тогда ряд Лорана для функциипревращается в ряд Тейлора. Доопределим функцию в точке.Тогда функциястанет аналитической в окрестностикак сумма степенного ряда. Поэтому точка- правильная точка функции.

Следствие.Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Следствие.Теорема Лиувилля. Любая целая, ограниченная во всей расширенной плоскости функция, есть константа.

Доказательство. Целая функция содержит только положительные степени в ее разложении в ряд Лорана (). Из неравенств Кошиприбудет. Следовательно,.

Полюсы

Пусть не существует конечного предела . Если=, то особая точканазываетсяполюсом функции.

Связь полюсов и нулей.

Точка называетсянулемфункции, если.

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функции, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функции.

Доказательство.Необходимость. Пусть- полюс функции, тогдааналитическая в, а=, то есть

Тогда функция аналитическая ви ограничена в окрестности точки. Поэтому точка- правильная точка функциии существует конечный. В силу произвольности=0.- нуль функции.

Достаточность. Пусть - нуль функции(- правильная точка функции) ианалитическая в.

Тогда . Следовательно,=и- полюс функции.

Примеры.

1. . Так как точки- нули функции, то точкиполюсы функции.

2. . Так как, то- полюс функции.

Будем считать аналитической в

Точка называетсяполюсом n–го порядкафункции, если.

Точка называется нулемn–го порядкафункции, если,

.

Пример. . Точка- полюс пятого порядка,- полюс третьего порядка,- полюс второго порядка..

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функцииn-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем n-го порядка функции .

Доказательство. Необходимость. Пусть точка полюс функцииn-го порядка, тогда,=

, где. Так как- аналитическая ви, то- аналитическая ви, поэтому точка- нульn-го порядка функции.

Достаточность доказать самостоятельно (доказательство аналогично).

Теорема. Для того чтобы точка была полюсомn-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степенямне содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость. Если точка- полюсn-го порядка функции, то. Разложим аналитическую функциюв ряд Тейлорапо степенями подставим разложение...

Достаточность. Пусть . Тогда

, где- аналитическая в точкефункция (как сумма степенного ряда). Поэтому- полюсn-го порядка функции.