Лекция 8.

Теоремы Тейлора и Лорана

Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд

(Теорема Тейлора).

Пусть функция - аналитическая в односвязной областис кусочно-гладкой границей,. Тогда функцияразлагается в степенной ряд по степенямв круге(расстояние от точки до границы области).

Доказательство.Точкалежит внутри, поэтому можно выбрать целиком лежит в области

z0 R R z0 Пусть точкаzпринадлежит кругу. По интегральной формуле Коши Разложим в ряд по степеням.

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессиейи равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге.

Функция - аналитическая ви на, следовательно, она непрерывна и ограничена на. То естьна.

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессиейи равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши

. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной:. Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказываетсярядом Тейлорадля данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам .

Неравенства Коши.

, где

. Таким образом, справедливынеравенства Кошидля коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности точки. По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области здесьRможно выбрать любым, лишь быRне превышало расстояния от точкидо границы областиG.

Ряд Лорана.

Рядом Лорананазывается ряд = +.

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называетсяправильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену, запишем главную часть в виде. Относительно переменнойt

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменнойz, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиусаr:

. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтомуобласть сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимостиr,Rопределяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, еслиr= R или пустое множество, если r > R.

Теорема Лорана.

Функция , аналитическая в круговом кольцеи на его границе,разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.

Рассмотрим круговое кольцо, построим внутри него еще одно круговое кольцо с радиусамитак, что. Рассмотрим произвольную точкуво внутреннем кольце, проведем из нее, как из центра окружность радиусомтак, чтобы она лежала целиком внутри внутреннего кольца. По теореме Коши для многосвязной области =+

По интегральной формуле Коши =-.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

1) В первом слагаемомповторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая,.

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессиейи равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге.

Функция - аналитическая на, следовательно, она непрерывна и ограничена на. То естьна.

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессиейи равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

=(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование поможно заменить интегрированием по).

.

2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая ,.

. Это справедливо, так как здесь.

Функция - аналитическая на, следовательно, она непрерывна и ограничена на. То естьна.

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно

Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны .(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование поможно заменить интегрированием по).

Складывая полученные разложения для двух слагаемых, получим разложение функции в ряд Лорана

, где коэффициенты ряда Лорана раны ..

Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся неравенства Коши.