16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.

Если выполнены условия независимости от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки кривой, то значение интеграла определяется только точками А и В. Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение или . Докажем следующую теорему.

Теорема. Если в односвязной области G выполнено условие , то существует функция такая, что для любых точек и .

Функцию принято называть потенциальной функцией.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку , и докажем, что в качестве искомой функции можно взять . Действительно, по свойству аддитивности , или , т.е. , что и требовалось доказать.

Разность обозначается символом или . Формула является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для двухмерного случая; ещё раз отметим, что она имеет место в случае, когда выполняются условия независимости интеграла от формы пути.

Докажем, что для построенной функции выполняются следующие соотношения:

. Действительно, пусть

. Тогда ,

(на ) (по теореме о среднем) . Точка удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .

Аналогично доказывается, что .

Условие теперь означает просто, что . Кроме того, из следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции (условие есть условие того, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение в полных дифференциалах). Для отыскания потенциальной функции можно: 1. Решить уравнение в полных дифференциалах; 2. Построить напрямую по формуле . В качестве пути интегрирования обычно берётся путь М₀АМ, состоящий из отрезков, параллельных координатным осям.

Тогда на М₀А ; на АМ .

Продемонстрируем оба метода на примере 4 раздела 16.3.3.3: . Здесь , т.е. условия независимости выполняются. В качестве точки берём начало координат .

1. Решаем систему уравнений Из первого уравнения , подставляем эту функцию во второе уравнение (потенциал всегда определяется с точностью до произвольной постоянной, физический смысл имеет разность потенциалов в двух точках, которая не зависит от этой постоянной).

2. .

Теперь, когда потенциальная функция определена, легко находится любой интеграл: .

16.3.3.7. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то ( - площадь области D). Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ;;;и т.д. В результате и т.д. При этом контур С (граница области D) обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул. Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом . Параметрические уравнения эллипса, поэтому; это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.

38