4.3. Пересечение поверхностей вращения плоскостями частного положения

В зависимости от положения секущей плоскости линия пересечения с поверхностью вращения имеет разную форму.

Цилиндр (прямой)

Если секущая плоскость параллельна основанию, то линией пересечения с прямым цилиндром является окружность. Если она расположена под углом к основанию, тогда – эллипс. В случае, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию, линия пересечения – прямоугольник.

Сфера

Линией пересечения плоскости со сферой является окружность не зависимо от положения секущей плоскости.

Тор

Если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, то в сечении получаем кольцо (в частном случае круг). Когда секущая плоскость расположена под иным углом к оси тора, линия пересечения представляет собой пару окружностей, эллипсов, один эллипс, либо по форме похожа на цифру «8».

Конус (прямой)

Наибольшее многообразие представляют конические сечения:

а) если секущая плоскость параллельна основанию конуса, тогда линия пересечения – окружность;

б) если секущая плоскость пересекает две образующих конуса, линия пересечения - эллипс;

в) когда секущая плоскость параллельна образующей, линия пересечения – парабола;

г) в случае, когда секущая плоскость пересекает одну образующую, линия пересечения – гипербола;

д) если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении имеем треугольник.

Рассмотрим построение проекций на примере сечения прямого конуса, основание которого параллельно плоскости П₁, различно расположенными плоскостями, которые отсекают часть конуса. Как видим, на рис. 4.8 представлено все многообразие расположения секущих плоскостей. При этом секущие плоскости являются фронтально-проецирующими, поэтому на П₂ решение получено.

Рис. 4.8. Сечение конуса плоскостями.

Построим горизонтальную проекцию конуса, усеченного заданными плоскостями.

Линия пересечения представляет собой на участке:

S1 - отрезок прямой;

12 - дугу окружности;

23 - участок параболы;

34 – участок эллипса;

34 – гиперболу.

Для решения задачи достаточно построить горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, расположенных на поверхности конуса, и соединить их линией. Например, проекция 1₁ строится так: через точку 1₂ проводим горизонтальную прямую до пересечения с контуром конуса в точке 6₂, затем радиусом S₁6₁ проводим дугу окружности и на ней по линии связи с точкой 1₂ находим точку 1₁. Аналогично строится горизонтальная проекция любой точки на поверхности конуса. Выбирая по необходимости промежуточные точки, получаем окончательное решение.

Профильную проекцию можно построить на основании правила взаимосвязи проекций. При этом необходимо учитывать контурные точки 7,8, профильные проекции которых лежат на контуре S₃A₃. Поскольку участок образующей SA между точками 7и 8 вырезан секущими плоскостями, как видно на П₂, то и на П₃ он отсутствует между точками 7₃ и 8₃.

Относительно осей Ф₁ и Ф₃ получаем симметричную картину, поэтому достаточно построить проекции на половине конуса.

На чертеже указываем линии пересечения секущих плоскостей, невидимые проекции которых обозначены пунктирной прямой.