
- •Галкин с.В.
- •Двойной интеграл1
- •Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
- •Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
- •Лекция 2. Приложения двойного интеграла.
- •Приложения двойного интеграла.
- •Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
- •Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.
- •Замечание о несобственных двойных интегралах.
- •Лекция 3 Тройной интеграл. Задача о массе пространственного тела.
- •Свойства тройного интеграла.
- •Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
- •Лекция 4. Приложения тройного интеграла.
- •Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства.. Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.
- •Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •Криволинейный интеграл 2 рода. Задача о работе силы.
- •Теорема существования.
- •Свойства криволинейного интеграла 2 рода.
- •Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •Лекция 6. Формула Грина.
- •Вычисление площади области по формуле Грина.
- •Полный дифференциал и его вычисление.
- •Формула Ньютона – Лейбница.
- •Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.
- •Формула Грина для многосвязной области.
- •Лекция 7. Поверхностные интегралы.
- •Свойства поверхностного интеграла первого рода.
- •Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
- •Поверхностный интеграл второго рода.
- •Задача о потоке жидкости через поверхность.
- •Запись поверхностного интеграла второго рода.
- •Лекция 8 Скалярное и векторное поля.
- •Скалярные поля.
- •Векторное поле.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •Инвариантное определение дивергенции.
- •Свойства дивергенции.
- •Соленоидальное поле и его свойства.
- •Свойства соленоидального поля.
- •Лекция 9 Формула Стокса. Ротор векторного поля.
- •Свойства ротора.
- •Теорема Стокса.
- •Инвариантное определение ротора.
- •Потенциальное поле и его свойства.
- •Свойства потенциального поля.
- •Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка.
- •Гармоническое поле.
- •Часть 2. Числовые и функциональные ряды Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.
- •Свойства сходящихся рядов.
- •Лекция 11 Знакоположительные ряды.
- •Интегральный признак Коши.
- •Признаки сравнения рядов.
- •Признак Даламбера.
- •Лекция 12. Знакопеременные ряды.
- •Теорема Римана.
- •Знакочередующиеся ряды.
- •Признак Лейбница.
- •Функциональные ряды Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Лекция 14. Степенные ряды.
- •Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.
- •Лекция 15. Ряд Тейлора.
- •Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
- •Применение степенных рядов.
- •Содержание
- •Часть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поля
- •Часть 2 Числовые и функциональные ряды.
Признак Даламбера.
Конечная форма признака Даламбера.
Пусть
,
тогда ряд
сходится.
Пусть
,
тогда ряд
расходится.
Доказательство.Пусть.
Тогда
.
,
и ряд
сходится.
Можно было, не оценивая частичную сумму
ряда, заключить, что ряд сходится по
первому признаку сравнения с бесконечно
убывающей геометрической прогрессией.
Пусть
,
Тогда
.
Поэтому
не
стремится к нулю при
,
необходимый признак сходимости ряда
не выполнен, ряд
расходится.
Предельная форма признака Даламбера.
Пусть
,
тогда ряд
сходится.
Пусть
,
тогда ряд
расходится.
Если
,
то признак не позволяет сделать вывод
о сходимости или расходимости ряда.
Доказательство. Пусть
.
Тогда
.
При малом
.
По конечной форме признака Даламбера
ряд
сходится.
Пусть
.
Тогда
.
При малом
,
то есть
.
Поэтому
не
стремится к нулю при
,
необходимый признак сходимости ряда
не выполнен, ряд
расходится.
Замечание.Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.
Правда, если
общий член ряда содержит факториал, то
его можно заменить по формуле Стирлинга
и применять второй признак сравнения.
Пример..
.
Ряд сходится по признаку Даламбера.
Пример.. Рассмотрим
,
так как последовательность
,
монотонно возрастая, стремится к
при
, то
. Следовательно,
.
Поэтому
не
стремится к нулю при
,
необходимый признак сходимости ряда
не выполнен, ряд
расходится.
Заметим, что
.
Поэтому признак Даламбера в предельной
форме не дает ответ о сходимости или
расходимости ряда, хотя признак в
конечной форме позволяет установить
расходимость ряда.
Радикальный признак Коши.
Конечная форма радикального признака Коши.
Пусть
,
тогда ряд
сходится.
Пусть
,
тогда ряд
расходится.
Доказательство.Пусть.
Тогда
,
ряд
сходится
по первому признаку сравнения с бесконечно
убывающей геометрической прогрессией.
Пусть
.
Тогда
,
ряд
расходится,
так как необходимый признак сходимости
ряда не выполнен.
Предельная форма радикального признака Коши.
Пусть
,
тогда ряд
сходится.
Пусть
,
тогда ряд
расходится.
Доказательство. Пусть,
тогда
.
при малом
.
Ряд
сходится
по конечной форме радикального признака
Коши.
Пусть
,
тогда
.
при малом
.
Тогда
,
ряд
расходится,
так как необходимый признак сходимости
ряда не выполнен.
Пример.
,
ряд сходится по радикальному признаку
Коши в предельной форме.
Замечание.У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость гармонического ряда. Проверьте это. Гармонический ряд расходится, но расходится так слабо, что попадает в «зону нечувствительности» указанных признаков. Интегральный признак Коши имеет меньшую «зону нечувствительности» и позволяет установить расходимость гармонического ряда.
Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах.
Пусть
-
сходящийся знакоположительный ряд.
Тогда его члены можно переставлять,
менять местами, полученный ряд будет
сходиться и иметь ту же сумму.
Доказательство. Проведем доказательство по индукции.
Пусть меняются
местами два члена ряда
.
Тогда в исходном и полученном перестановкой
членов ряде частичные суммы, начиная с
будут совпадать. Следовательно, ряд,
полученный перестановкой двух членов
ряда, , будет сходиться и иметь ту же
сумму.
Пусть при
перестановке местами
членов ряда ряд сходится и имеет ту же
сумму.
Пусть переставляются
членов ряда. Эта перестановка сводится
к перестановке
членов ряда, а затем к перестановке еще
какого-либо члена с каким-либо другим
(перестановке двух членов ряда).
По индуктивному
предположению при перестановке местами
членов ряда ряд сходится и имеет ту же
сумму. Ряд, полученный перестановкой
двух членов ряда, будет сходиться и
иметь ту же сумму. Следовательно, и при
перестановке
членов ряда ряд будет сходиться и иметь
ту же сумму.