5. Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн. Красное смещение. Применение для определения скорости движущегося автомобиля. Ударные волны Маха.

Эффект Допплера - волновое явление. Он был открыт в 1825 г. и заключается в том, что частота сигнала, который посылается некоторым источником отличается от частоты, которая принимается некоторым приемником, если источник или приемник (или оба вместе) движутся. В оригинальном эксперименте Допплера к наблюдателю с абсолютным слухом, находившемуся на перроне вокзала, приближалась, а затем удалялась от него открытая железнодорожная платформа с духовым оркестром. Это явление наблюдается и для упругих, и для электромагнитных волн, однако описывается по-разному, поскольку упругие волны распространяются всегда в среде, а ЭМ волны могут распространяться и в вакууме. Начнем с упругих волн. В этом случае говорят об эффекте Допплера в акустике.

Будем считать, что точечный источник движется относительно неподвижной среды со скоростью u по направлению к неподвижному наблюдателю А и от неподвижного наблюдателя В , а волна движется относительно среды со скоростью V, распространяясь в виде сферы во все стороны. Для наблюдателя А, к которому движется источник, волна как бы «сжимается», и вместо волны ₀ = V /₀ он воспримет волну длиной ' = V /' < ₀ с частотой ' > ₀ . Напротив, для наблюдателя В волна «растянется»: ' > ₀ ; ' < ₀.

Пусть  - время, за которое волна, испущенная в момент t = 0, дойдет до приемника (наблюдателя). Так как частота ₀ есть число колебаний за 1 с, то число испущенных за время  колебаний равно ₀, а расстояние, на которое они распространятся в сторону наблюдателя А, равно (V - u). Таким образом воспринимаемая наблюдателем А длина волны будет , а воспринимаемая частота . Если же приемник еще и движется навстречу волне со скоростью , то и окончательно

. (13.2)

Ударные волны Маха образуются, когда скорость источника превышает скорость звука (u > V). Получается волна, фронт которой образует увеличивающийся в размерах конус с углом раствора  = arcsin (V/u). Это так называемая ударная волна Маха. Такую волну порождает взмах хлыстом или движение самолета со сверхзвуковой скоростью. Наблюдатель при этом слышит громкий хлопок. Часто говорят, что самолет "преодолевает звуковой барьер", хотя на самом деле он мог его преодолеть вскоре после взлета и далее двигаться с постоянной скоростью u > V.

Два наблюдателя, находящиеся поодаль друг от друга услышат хлопок, естественно, в разное время - по мере достижения образующей конуса барабанных перепонок. Аналогом этой волны является поверхностная волна на воде с "треугольным" фронтом, возбуждаемая катером.

Рассмотрим теперь эффект Допплера для ЭМ волн. Так как ЭМ волны могут распространяться в пустом пространстве и, в отличие от упругих волн, не нуждаются в наличии некоей среды - эфира - то имеет смысл говорить лишь об относительной скорости U приемника по отношению к источнику (или наоборот, что одно и то же). Имеется условно неподвижная система К и движущаяся относительно нее равномерно со скоростью U система К', у которой ось х' скользит вдоль оси x системы K, а у = у' и х = х' Пусть далее с системой К связан источник, посылающий плоскую волну

, (13.3)

а с К' связан приемник, воспринимающий волну

. (13.4)

При этом система K' (с неподвижным в ней приемником) удалялась от системы К (с неподвижным источником). Если считать, как ранее в акустическом случае, что U > 0 для сближения и U < 0 для удаления, то в последней формуле следует поменять U на (-U). Окончательно

. (13.5)

Анализ линий спектра излучения удаленных космических объектов показывает, что положение этих линий сдвинуто в сторону бóльших длин волн. Явление это называют красным смещением.

Эффект Допплера обусловливает естественную ширину спектральных линий.

Эффект Допплера используется в арсенале ГИБДД в приборе для определения скорости U движущегося автомобиля. В этом случае U/c << 1. Представим корень в (13.5) как и воспользуемся разложениями в ряд по :

и . Только первые два слагаемых в этих разложениях одинаковы. Остальные, которые отличаются друг от друга, - меньшего порядка, и мы их отбрасываем. Поэтому для малых U получим для частоты ’ , воспринимаемой водителем, значение

. (13.6)

Сигнал этой частоты отражается назад к сотруднику ГИБДД и воспринимается его радаром как сигнал, идущий от движущегося источника – автомобиля. Воспринимаемая гаишником частота ” опять-таки определится формулой (13.6), где вместо _о надо теперь подставить ’. Поэтому

.

Для нахождения скорости автомобиля (рис. 13.7) используется радар, излучающий электромагнитные волны длины _О = 3 см (_О = с/ = 10¹⁰ Гц). Радар одновременно является и источником, посылающим излучение частоты _О, и приемником, регистрирующим отраженное излучение частоты ”. Как следует из последнего соотношения, разность частот посланного и принятого сигнала  = ”-_O = 2_OU/c, отсюда U = c /(2_O). В результате взаимодействия коллинеарных колебаний с близкими частотами ” и _O возникнут биения с частотой . Современные, не слишком дорогие приборы, которыми оснащены службы ГИБДД, способны обнаружить биения с частотой не менее 100 Гц. Таким образом, минимально возможная обнаружимая скорость равна .

Нетрудно видеть, что эта формула исчерпывает все возможные случаи взаимного движения источника и приемника, если принять к сведению следующее правило знаков:

V > 0 - всегда; > 0 - для сближения; < 0 - для удаления.

6. Интерференция от двух источников. Когерентность. Геометрическая и оптическая разность хода. Условия максимумов и минимумов интерференции. Общая интерференционная схема. Ширина интерференционной полосы.

И нтерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве.Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.

Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны.

Когере́нтность — согласованность нескольких колебательных или волновых процессов во времени, проявляющаяся при их сложении. Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени и при сложении колебаний получается колебание той же частоты.

Классический пример двух когерентных колебаний — это два синусоидальных колебания одинаковой частоты.

Когерентность волны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, то есть разность фаз между двумя точками не зависит от времени.

Для световых ЭМ волн, распространяющихся в среде с показателем преломления n, получим

(11.4)

где _О - длина световой волны в вакууме; (d₂ - d₁) - геометрическая разность хода лучей, а  = (nd₂ - nd₁) - разность оптических длин пути или просто оптическая разность хода. Для вакуума она совпадает с геометрической, т.к. n = 1. Оно и понятно: в вакууме при бóльшей скорости распространения волна пробежит и бóльшее расстояние.

Поскольку  = k, то условие максимумов и минимумов интерференции можно записать через оптическую разность хода:

А² = min при  = = (2m-1) ,

где m = 1,2,…- номер минимума;

А² = max при  = 0, , 2, 3 ... = 2m ,

где m = 0,1,2, 3…- номер максимума.

Однако в действительности оптическая интерференция может иметь место лишь при выполнении ряда довольно жестких условий. Начнем с наиболее очевидных.

1. Взаимодействующие волны должны быть одинаковой природы: нельзя заставить интерферировать световую волну со звуковой.

2. Волны должны иметь одинаковую частоту.

3. Волны должны иметь одинаковую поляризацию - способ упорядочения колебаний в волне. Это означает, что если, например, вектор одной волны колеблется в плоскости чертежа, то эта волна может интерферировать с другой волной с таким же способом упорядочения колебаний вектора (т.е. он тоже должен совершать колебания в той же плоскости).

4. Волны должны быть когерентны.

Ширина интерференционной полосы. Ширина интерференционной полосы определяется, как расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами, интерференционные порядки которых отличаются на единицу.

Общая интерференционная схема в следующем вопросе.

7. Схема Юнга, бипризма Френеля, кольца Ньютона и тонкие плёнки как примеры иллюстрации интерференционных явлений с подробным анализом хода лучей. Интерференция для монохроматического и белого света в этих устройствах

Одной из первых установок, на которых была осуществлена интерференция, является схема Юнга (рис. 11.4). Излучение от свечи S проходит через светофильтр Ф, который выделяет из всего спектра излучения лишь узкую полосу вблизи частоты светофильтра - монохроматический свет длиной волны . Далее на пути монохроматического света находится диафрагма Д с двумя маленькими отверстиями S₁ и S₂. Полосатая интерференционная картина наблюдалась на экране Э, р асположенном за диафрагмой. Выходящие из отверстий S₁ и S₂ излучения оказались когерентными благодаря тому, что образовавшиеся два потока получились из одного. Сами же отверстия можно рассматривать как два когерентных источника, каждый из которых посылает излучение в виде обрывков синусоид. Поэтому, если излучение обрывается в некоторой фазе в первом канале, то в той же фазе оно оборвется и во втором канале. И далее, когда оно снова возобновится в некоторой фазе и с некоторой новой поляризацией в первом канале, то же самое будет и во втором канале. Оба излучения оказываются зависимыми друг от друга. Приходя в некоторую точку М на экране, они будут иметь постоянную разность фаз  и потому интерферировать, давая характерную полосатую интерференционную картину.

Бипризма Френеля(рис.11.5) представляет собой трехгранную призму с очень малым (порядка нескольких минут) преломляющим углом. Благодаря преломлению в призме образуется два расходящихся пучка, имеющих зону взаимного перекрытия, где и будет наблюдаться интерференционная картина. Здесь, как и в предыдущем случае, свет от естественного источника разделяется на два пучка. То, что источники этих пучков S₁ и S₂ мнимые, значения не имеет. Важно то, что интерференционная картина всегда образуется при взаимодействии реальных световых пучков.

Д ва только что рассмотренных примера, а также множество других подчиняются общей интерференционной схеме. Здесь два когерентных монохроматических источника S₁ и S₂, излучающие волны длиной _о в вакууме и возникшие благодаря разделению одного исходного светового потока, взаимодействуют в некоторой точке М. Эта точка расположена на экране Э на расстоянии х = ОМ от центра 0 всей полосатой интерференционной картины. Максимумы интенсивности J соответствуют светлым, а минимумы – тёмным полосам картины. Центр картины лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка, соединяющего источники.

Кольца Ньютона возникают, благодаря интерференции в воздушном клине между плосковыпуклой линзой и плоской стеклянной плитой, на которой покоится линза (рис. 11.7). В установке используется параллельный пучок монохроматического света. Проследим путь одного из лучей пучка, падающего перпендикулярно плоской поверхности линзы. Эту поверхность луч пройдет без изменения траектории. При падении на сферическую поверхность линзы луч частично отразится от нее (луч 1) под тем же углом, что и угол падения i, а частично преломится (луч 2) под углом r, причем r > i, поскольку свет идет из с текла в воздух, а не наоборот. Отразившись от плоской поверхности стеклянной плитки, луч 2 вторично войдет в линзу и затем пересечется с лучом 1. Таким образом, два взаимодействующих луча появились из одного и, в соответствии со сказанным выше, будут интерферировать. Точка пересечения лучей расположена практически на сферической поверхности линзы. Поэтому геометрическая разность хода лучей определится длиной пути "туда и обратно" луча 2 после разделения, и если толщина воздушного слоя в этом месте равна h, то геометрическая разность хода будет 2h. Понятно, что один и тот же интерференционный эффект будет соответствовать геометрическому месту точек с равной толщиной воздушного клина, и если линза имеет идеальную сферическую форму, то следует ожидать системы темных и светлых колец правильной формы. Однако интерференционный эффект определяется не геометрической, а оптической разностью хода и здесь есть некоторая физическая тонкость: при возникновении различий в условиях отражения, когда один из интерферирующих лучей отражается от оптически более плотной среды, происходит скачок фазы на , что эквивалентно увеличению оптического пути на величину Поэтому, если клин воздушный (n = 1), то оптическая разность хода лучей

 = 2hn + /2 = 2h + /2. (11.11)

В ыразим неудобную для практических целей величину h через радиус кривизны R линзы и радиус m-го кольца. Из рис. 11.7 видно, что (т.к. ), откуда Подставляя в (11.11) и имея в виду (11.5), получим для темных колец:

, (11.12)

а для светлых колец:

. (11.13)

Нумерация темных колец (минимумы) начинается с m = 0 - центральной темной точки, располагающейся в центре картины. Далее следует первое светлое кольцо m = 1 в (11.12), затем первое темное m = 1 в (11.11) и т.д. Метод колец можно применять не только для контроля качества сферичности некоторой линзы, но и для измерения ее радиуса кривизны.

Интерференция в тонких пленках дает цветные разводы на поверхности мыльных пузырей, поверхностях пленок от нефтепродуктов на воде или асфальте, а также на поверхности старых давно не мытых окон, покрытых пленкой различных окислов. Рассмотрим один из лучей пучка монохроматического источника S. Будем считать источник достаточно удаленным, а потому пучок - параллельным (рис. 12.1). При падении луча на пленку толщиной h с параллельными поверхностями, находящуюся в воздухе, в точке А возникает отраженный и преломленный луч, которые будучи когерентными, выйдут из пленки параллельно друг другу и в непосредственной близости друг от друга. Такие лучи теоретически дадут интерференционную картину на бесконечности. Однако, пройдя через хрусталик глаза, они сформируют картину на сетчатке.