Примеры:
1.
.
I.
;
общего вида; непериодична;
при
;
;
;
;
;
точка
- точка разрыва второго рода; прямая
- вертикальная асимптота. Ищем наклонные
асимптоты:
;
;
прямая
- двусторонняя наклонная асимптота.
Интервалы знакопостоянства функции:
II.
.
Критические точки первого рода:
,
.
Определяем интервалы монотонности (в
таблицу включаем концы интервалов
области определения и критические
точки):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
0 |
+ |
|
|
|
Мax=0 |
|
Не опред. |
|
Min= |
|
III.
Критические точки
второго рода:
,
.
Определяем интервалы выпуклости графика:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
0 |
|
|
+ |
|
|
|
Точка перегиба |
|
Нет перегиба |
|
Не опред. |
|
Г
рафик
функции приведён на рисунке справа.
2.
.
I.
;
общего вида; непериодична.
;
;
;
.
Точка
-
точка разрыва второго рода; прямая
- вертикальная асимптота. Так как функция
не определена при
,
ищем только правую наклонную асимптоту:
,
,
наклонной асимптоты нет. Функция
принимает отрицательные значения на
интервале
,
положительные значения на интервале
.
II.
,
единственная стационарная точка -
.
Интервалы монотонности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
|
Не опред. |
|
Min= |
|
III.
,
-
критическая точка второго рода. Интервалы
выпуклости:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
Не опред. |
|
Точка перегиба |
|
Г
рафик
функции приведён на рисунке справа
3.
.
I.
;
общего вида; непериодична;
при
и
;
;
.
Находим
и
:
;
,
асимптот нет. Первый эскиз графика
функции приведён справа.
I
I.
,
критические точки первого рода
,
.
Таблица изменения знаков производной:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
Мin=0 |
|
Mах=1 |
|
О
тмечаем,
что первый эскиз неправильно описывает
поведение функции в окрестности точки
0.
III.
.
для
,
выпуклость графика направлена вверх,
точек перегиба нет.
Окончательный вариант графика:
4.
.
I.
;
общего вида; периодична, период Т=2
, поэтому достаточно построить функцию
на одном периоде, например, на
.
Находим значения функции на концах
этого отрезка:
.
При
;
найдём нули функции:
На
отрезке
расположены два нуля функции:
и
.
на интервалах
и
,
на интервале
.
В силу периодичности функции нет
необходимости искать пределы функции
на бесконечности и асимптоты.
II.
.
Ищем критические точки первого рода:
при
и
,
на отрезке
находятся три таких точки:
,
и
.
Характер критических точек определяем
с помощью второй производной:
;
,
,
;
точка
- точка максимума с
,
точка
- точка минимума с
.
Для определения характера точки
найдём
,
.
Первая отличная от нуля производная в
точке
имеет нечётный порядок, т.е. в этой точке
экстремума нет. Всю информацию отражаем
на эскизе графика.
III.
Находим критические точки второго рода:
,
на отрезке
находятся четыре точки, удовлетворяющие
этим уравнениям (в порядке возрастания):
,
,
,
.
Каждая из этих точек является точкой
перегиба, так как вторая производная
меняет знак при переходе через к
аждый
свой нуль. Эти точки разбивают отрезок
на пять подмножеств; мы уже определяли
знак второй производной в точке
,
принадлежащей четвёртому подмножеству,
и в точке
,
принадлежащей пятому подмножеству, по
этой информации без труда определяются
направления выпуклости графика функции
на каждом из пяти интервалов. Окончательный
график функции на отрезке
: