9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.
9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
.
Здесь и дальше мы
снова будем работать только с действительной
переменной 
,
коэффициенты обоих многочленов -
действительные числа, 
,
.
Рациональная функция (дробь) называется
правильной, если 
;
если 
,
рациональная дробь называется
неправильной. Любая неправильная дробь
может быть представлена в виде сумма
многочлена степени 
и правильной дроби: 
,
;
нахождение целой части 
и остатка 
может быть выполнено, например, с помощью
процедуры деления "уголком". В
дальнейшем будем предполагать, что 
- правильная дробь.
Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:
|
I.
|
II.
|
|
III.
|
IV.
|
;
;
;
.
9.3.2.
Теорема о разложении правильной
рациональной функции в сумму простых
дробей. Пусть
знаменатель правильной рациональной
дроби представлен, согласно утверждению
6 пункта 9.2.3,
в виде 
,
.
Тогда дробь 
единственным (с точностью до порядка
слагаемых) образом может быть представлена
как суммы простых дробей следующей
структуры
.
Проиллюстрируем
представление неправильной дроби в
виде суммы многочлена и правильной
дроби, и разложение правильной дроби
на простые на примере. Дана функция 
.Здесь 
,
.После деления
"уголком" получим 
.Согласно теореме,
получившаяся правильная дробь должна
представляться в виде
,
(*)где 
-
неизвестные пока коэффициенты
("неопределённые коэффициенты").
Приводим сумму в правой части равенства
(*) к общему знаменателю:
=
.Дроби в правой и
левой частях этого равенства равны, так
как их знаменатели совпадают, должны
быть равны и числители: 
Неопределённые
коэффициенты находятся из этого
равенства. Так, подставив в него значение
,
получим 
.
Если подставить в это равенство корни
трёхчлена 
,
будут определены 
и 
.
Такой приём нахождения неопределённых
коэффициентов называют способом частных
значений. Другой метод заключается в
том, что раскрываются скобки в правой
части равенства и приравниваются
коэффициенты при одинаковых степенях
:
.
Коэффициенты при
степенях
справа и слева от знака равенства:
Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. Окончательно,
функция 
представляется в
виде 
.В заключение
отметим, что при решении задач целесообразно
комбинировать методы частных значений
и сравнения коэффициентов при степенях
,
т.е. исключать коэффициенты, найденные
по частным значениям, из системы
уравнений.