7.7.3. Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 7.8. Пусть для функции R_n(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при эта функция является бесконечно малой вышеn-го порядка по сравнению с х- х₀.

Док-во проведём по методу математической индукции. Если n = 1 и L(x₀) = L'(x₀) = 0, то, по теор.6.2 о приращении дифференцируемой функции L = L(x) - L(x₀) = L(x) = L'(x₀)x+ (x)x =(x)x= о(x)= о(x- x₀) ((x) - БМ при x0). Пусть теперь утверждение леммы справедливо для n-1 (т.е. если , то

L(x)=о(x- x₀)^n-1), докажем, что оно верно и для n. Пусть для функции R_n(x) выполняются условия . Функция R_n'(x)=L(x) удовлетворяет утверждению леммы c n-1, поэтому R'_n (x) = о(x- x₀)^n-1. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа (7.3) R_n(x) = R_n(x) - R_n(x₀) = R'_n(с)( x- x₀), где с находится x между и x₀, и так как

| с- x₀ | <| x- x₀ |, то R'_n(с) = о(с- x₀)^n-1 = о(х- x₀)^n-1, поэтому R_n(x) = R'_n(с)( x- x₀) =

= о(х- x₀)^n-1( x- x₀) = о(х- x₀)ⁿ, что и требовалось доказать.

Таким образом, для остаточного члена мы получили оценку R_n(x) = о(х- x₀)ⁿ. Так как , то окончательно

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

7.7.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Если в окрестности точки x₀ существуют все производные функции f(x) до n+1-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена: , где , точка с расположена между x и x₀. Это представление остаточного члена называется формой Лагранжа.

Докажем это утверждение. Заметим, что . Вместе с функциейR_n(x) рассмотрим функцию . Эта функция, как иR_n(x), имеет в точке x₀ n равных нулю производных: , а. К паре функцийR_n(x), на отрезкеприменим теорему Коши:, где точкарасположена междуx и x₀. Далее к паре функций R'_n(x), на отрезкеснова применим теорему Коши:, где точкарасположена междуx и . Продолжим этот процесс дляR"_n(x), ,R'''_n(x), и т.д., окончательно получим:. Итак,, откуда(мы переобозначили), что и требовалось доказать.

Число с удобно записать в виде , где, тогда.

Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

Частный случай формулы Тейлора в случае x₀ = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:

7.8. Представление по формуле Маклорена

элементарных функций.

1. . В этом случае , поэтому

, 0<<1.

2. . В этом случае все производные чётного порядка равны при х = 0, производные нечётного порядка: при х = 0, поэтому

, где для , с учётом общего выражения для 2n-ой производной функции (см. раздел6.11.1 производные высших порядков) , при i = 2n +1 получим

.Ниже приведены графики, иллюстрирующие приближение многочленов к функциями.

3. . Так же, как и для, получаем

, где .

4..

Закономерность понятна: , поэтому

где .

5. 

…,

, следовательно,

, где

.

7.9. Применение формулы Тейлора для нахождения пределов

и приближённых вычислений.

7.9.1. Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры:

1. . Так как в знаменателе стоит х⁵, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена, мы должны брать многочлены не ниже пятой степени: ; (следующий член разложения имеет шестую степень) ,

2. . Здесь мы в выкладках обязаны удерживать члены до четвёртой степени:

поэтому .

7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора. В разделе 6.8.4 Применение дифференциала в приближённых вычислениях мы пользовались выражением у(x+х)  у(x)+ у'(x) х, которое, как теперь очевидно, содержит два первых члена формулы Тейлора. Формула Тейлора обобщает это выражение; она позволяет проводить более точные вычисления и оценивать точность этих вычислений. Рассмотрим следующий пример: требуется вычислить sin1 с погрешностью, не превышающей 0,00001. Остаточный член в форме Лагранжа для функции имеет вид, следовательно . Подбором находим, что, следовательно, мы должны взять степених вплоть до седьмой:

78