7. Основные теоремы дифференциального исчисления.

В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

7.1.1. Определение экстремума функции.

Опр.7.1. Пусть х₀ - внутренняя точка области определения Х функции f(x), т.е. х₀ Х вместе с некоторой своей -окрестностью. Точках₀ называется точкой (строгого) максимума функции f(x) (или f(x) имеет максимум в точке х₀), если для любого х из проколотой -окрестности этой точки выполняется неравенство f(x)< f(х₀). (Если для выполняется, точках₀ называется точкой нестрогого максимума функции f(x)).

Соответственно, точка х₀ называется точкой (строгого) минимума функции f(x) (или f(x) имеет минимум в точке х₀), если в некоторой проколотой окрестности этой точки для любого х выполняется неравенство f(x)> f(х₀).

Общее название для максимума и минимума функции - экстремум; точки, в которых достигается максимум или минимум - точки экстремума.

Эти определения носят локальный характер: значение функции в точке экстремума сравнивается с значениями в близко лежащих точках. На приведенном выше рисунке точки M₁, M₂ - точки строгого максимума, точки m₁, m₃ - точки строгого минимума, m₂- точка нестрогого минимума; при этом минимум функции в точке m₁ больше, чем максимум в точке M₂.

7.1.2. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть функция имеет в точкеконечную производную. Тогда если, товозрастает в точке(т.е. для значенийх из некоторой окрестности точкивыполняются условия: если, то, если, то. Если, тоубывает в точке(т.е. для значенийх из некоторой окрестности точки выполняются условия: если, то, если, то).

Если в формулировке теоремы иметь в виду одностороннюю производную, например, справа, то утверждение теоремы будет справедливо для значений х, находящихся справа от , т.е. для.

Док-во. По определению, . Рассмотрим случай . Потеор.4.4.4 (о сохранении функцией знака предела) существует окрестность точки , в которой , что означает , т.е. возрастание функции f(x) в точке .

Случай рассматривается аналогично.

7.1.3. Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и во внутренней точке этого отрезка принимает экстремальное значение. Пусть в точкесуществует. Тогда.

Док-во от противного. Пусть - точка экстремума функцииf(x), и пусть . Рассмотрим для определённости случай, когда- точка минимума; предположим, что. Тогда слева от точкипотеор.7.1.2 должно быть , что противоречит предположению о том, что - точка минимума. Если мы предположим, что , тодолжно быть справа от точки, чего тоже быть не может. Таким образом,.

Случай, когда - точка максимума, рассматривается аналогично. Геометрически теорема Ферма означает, что в точке экстремума гладкой функции касательная к графику функции параллельна оси Ох.

7.2. Теорема Ролля.

Теор.7.2. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения: f(a) = f(b).

Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю: f '(с) = 0.

Док-во. f (х) непрерывна на [a,b], поэтому, по Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Возможны случаи: 1. m = M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]: f (х) = m = M. Тогда в каждой точке с[a,b]

f '(с) = 0.

2. m < M. Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке с отрезка. Тогда из теоремы Ферма 7.1.3 следует, что f '(с) = 0.

Так как к теореме Ролля сводятся доказательства остальных теорем, установим обязательность приведённых в формулировке теоремы требований: 1. Непрерывность функции f (х) необходима для справедливости теоремы: функция удовлетворяет на отрезке [0,1] всем условиям теоремы, за исключением того, что имеет единственную точку разрыва x=1, и её производная f '(х) = 1  0 в любой точке интервала (0,1); 2. Существование производной f '(x) в любой точке интервала (0,1) также необходимо: функция f(х)=|x| удовлетворяет всем условиям теоремы на отрезке [-1,1], за исключением того, что не имеет производной в точке x=0, и f '(х) = -1  0 при х(-1,0), f '(х) = 1  0 при х(0,1); 3. Условие f(a) = f(b) также необходимо для справедливости теоремы (контрпример - f (х) = х).